Usando a regressão não-linear no Minitab para a difusão do modelo em uma lâmpada de descarga de alta intensidade

Quando uma equipe de projeto que testa a qualidade e confiabilidade de lâmpadas de descarga de alta intensidade na Philips Turnhout precisou modelar a química de uma nova geração de produtos, seus membros descobriram que a funcionalidade de regressão não linear do Minitab tornou os procedimentos de ajuste de dados avançados muito acessíveis. 

Por P. Watté, Aplicações Inovadoras da Philips, Tecnologia e Desenvolvimento Global HID & SL, Bélgica

Introdução

Artigo da Philips P Watte Proteção da empresa Artigo da Philips

P. Watté, Aplicações Inovadoras da Philips 

Na Philips Turnhout, o Minitab é amplamente utilizado para vários cálculos a fim de verificar e demonstrar a qualidade e confiabilidade de nossas lâmpadas de descarga de alta intensidade. Recentemente, uma de nossas equipes de projeto descobriu um valor adicional nas opções de ajuste de modelo oferecidas pelo Minitab. Em especial, a funcionalidade de regressão não linear tornou os procedimentos de ajuste avançados muito acessíveis. Como detalhado neste arquivo, ela foi aplicada para compreensão em química dentro do queimador em uma nova geração de produtos.

A Philips desenvolveu um novo tipo de lâmpada de descarga de alta intensidade, a chamada linha Philips Mastercolour Evolution. Este projeto revolucionário utiliza enchimentos insaturados de metal-halide. As gerações anteriores usavam uma dose maciça de enchimento de sal, o que também criava uma combinação de sal considerável que afetava o desempenho da lâmpada. O novo projeto de lâmpada elimina este problema. Consequentemente, um "feixe claro" e uma vida útil maior da lâmpada estão ao nosso alcance, porque e não há quase nenhuma corrosão do óxido de alumina do queimador. A figura 1 mostra a lâmpada sob estudo, uma lâmpada Mastercolour Evolution 35 W T com uma base de cerâmica. O tubo de descarga tem plugues estendidos menores do que uma lâmpada HID de varejo tradicional.

Artigo Philips Figura 1 - Lâmpada

Figura 1: A lâmpada Mastercolour Evolution 35W T. O queimador é a parte esférica dentro do envoltório da lâmpada de quartzo.

Exposição do problema

O queimador (a parte esférica da lâmpada na qual o plasma é gerado) é feito de óxido de alumina policristalino e manufaturado por meio de moldagem por injeção. Infelizmente, os elementos podem se difundir para fora da matriz do queimador na forma de óxidos e reagir com o enchimento salino. Nas novas lâmpadas insaturadas, esta é uma questão essencial. Neste artigo, discutimos como tratamos da difusão de um elemento em especial (nós simplesmente nos referiremos a ele como "X") a partir da parede do tubo de descarga.

Dados da espectroscopia de alta resolução

Com a finalidade de sermos exaustivos, incluímos nesta seção as informações técnicas. Os leitores que não estão preocupados com estes detalhes de fabricação da lâmpada podem ignorar esta seção e prosseguir para a próxima seção, que trata do ajuste do modelo no Minitab.

Em uma aplicação de iluminação, o tubo de descarga pode atingir temperaturas relativamente elevadas, na faixa de 1500 a 1900 K. Isso leva à difusão para o exterior de óxidos e de outros elementos a partir do material do queimador. A quantidade destes elementos na descarga não pode ser avaliada diretamente, mas é possível fazer a avaliação indireta por meio da espectroscopia de alta resolução. ao ampliar uma de suas linhas espectrais no espectro de alta resolução, é possível estimar a presença do elemento X na descarga. Isso está ilustrado na figura 2.

A difusão para o exterior de X a partir do material do queimador é controlada por um coeficiente de difusão dependente da temperatura. Ao fazer uma escolha apropriada das linhas espectrais (nós normalizamos uma linha espectral de X para uma linha espectral de Hg), como mostrado na figura 3, o valor X/Hg ajusta para uma função de erro complexo erfc(x), que é a solução geral para uma equação de difusão. As lâmpadas Six Evolution 35W foram medidas depois 100, 500, 1000, 2000, 4000, 6000, 8000 e 10000 h. O boxplot dos valores X/Hg é descrito na figura 4. Nós usamos estes dados para ajustar uma função de erro complexo. Pacotes de software matemáticos podem desempenhar esta tarefa, mas pode ser bem complicado se você também quiser limites de confiança no ajuste.

Artigo Philips Figura 2 - Espectro

Figura 2: Espectro de alta resolução completa (HRS) da lâmpada Mastercolour Evolution 35W T

  Artigo Philips Figura 3 Detalhes do Espectro

Figura 3: Ampliação sobre uma linha espectral de X no espectro de alta resolução. Nós omitimos a escala do comprimento de onda propositalmente.

Artigo Philips Figura 4 Boxplot

Figura 4: Boxplot da evolução da linha ótica fina de X em relação a uma linha Hg como uma função da vida da lâmpada. Cada caixa representa 6 lâmpadas.

Ajuste de dados no Minitab

Os dados de espectroscopia de alta resolução foram armazenados em duas colunas de uma worksheet do Minitab, mostrado na figura 5. A primeira coluna contém as oras da vida útil da lâmpada na qual a medição nfoi realizada. A segunda coluna é a altura dos valores X/Hg registrados. O Minitab não tem uma função erfc(x) integrada, mas é possível usar o Minitab para realizar o cálculo com uma fórmula aproximada de Abramowitz e Stegun.

Artigo Philips - Equação 1

Equação 1. A fórmula de Abramowitz e Stegun para aproximação da função de erro complexo.

Agora explicamos como o ajuste foi elegantemente realizado no Minitab.

Artigo Philips Figura 5 Worksheet

Figura 5: Organização dos dados na worksheet do Minitab. A coluna C1 é a vida útil da lâmpada na qual a medição de HRS foi realizada. A coluna C2 é a razão das linhas óticas finas X/Hg.

Para realizar o ajuste de erfc, nós selecionamos Estat Regressão Não Linear da Regressão… no menu. A equação da função de ajuste precisa ser inserida na janela obrigatória. A sintaxe do Minitab é tal que os parâmetros de ajuste precisam ser alimentados como mostrado na Figura 6.

Artigo Philips Figura 6 Diálogo

Figura 6: A função de ajuste (contendo a função de erro complexa) é inserida diretamente na janela Função da Expectativa.

Ao preencher a função de ajuste, é importante digitar o número correto de colchetes.

O ajuste será realizado usando a função a seguir:

Artigo Philips - Equação 2

Equação 2.

Se você clicar em ‘OK’, o Minitab pede que você insira dois valores estimados para os parâmetros de ajuste. Estes valores iniciais serão usados em um algoritmo de Levenberg-Marquardt ou Newton-Gauss para encontrar os valores ideais. A saída gráfica é descrita na figura 7.

Artigo Philips Figura 7 Gráfico de Linha Ajustada

Figura 7: Ajuste da função de ajuste na equação 2 para os dados do HRS da lâmpada CDM Mastercolour Evolution 35W como uma função de tempo de vida útil.

No final das contas, os resíduos também podem ser representados graficamente em um gráfico de probabilidade normal ou histograma. Os resíduos devem seguir uma distribuição normal para um ajuste de boa qualidade. Este é, naturalmente, o caso aqui, conforme apresentado nas Figuras 8 e 9. A figura 10 exibe a janela Session, que aparece após o ajuste.

Artigo Philips Figura 8 Gráfico Normal

Figura 8: Gráfico de probabilidade normal dos resíduos.

Artigo Philips Figura 9 Histograma

Figura 9: Gráfico de resíduos do ajuste: histograma dos resíduos.

A figura 10 exibe a janela Session, que aparece após o ajuste. Ela lista os parâmetros de ajuste em sua SE na estimativa, bem como uma verificação da falta de ajuste. Isso revela que usamos o algoritmo de Newton-Gauss para a otimização do ajuste. Com os valores iniciais de 0,18, a solução foi obtida depois de 11 iterações.

Figura 10: Saída da janela session depois do ajuste.

Conclusão

O Minitab é amplamente usado para verificar e demonstrar a qualidade e confiabilidade das lâmpadas de alta intensidade na Philips Turnhout. Como descrevemos, uma de nossas equipes de projeto descobriu um valor adicional na utilização da regressão linear para a compreensão da química dentro do queimador de uma nova geração de produtos. A equipe descobriu que a funcionalidade de regressão não linear do Minitab torna muito acessível os procedimentos de ajuste avançados. 

Referências

1 M. Abramowitz e I. Stegun, “Handbook of mathematical functions”, Nat. bureau of standards, Appl Mathematics series, 55, (1972), p 299.

Agradecimentos

Agradecemos P. Antonis, R. Raas, D. Vandeperre, K. Denissen pelo fornecimento de dados e discussões, J. Suijker e M. Meeuwssen pela revisão deste documento.

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