A Carta G no Minitab Statistical Software

Esse artigo oferece cenários, casos de uso, e informações técnicas sobre a implementação da carta G, desenvolvida por James Benneyan no Minitab Statistical Software.

História da Carta G

Desenvolvida por James Benneyan em 1991, a carta g (ou "carta G" no Minitab) é uma carta de controle que se baseia na distribuição geométrica. Desde então, Benneyan publicou vários artigos sobre a carta G e uma carta acompanhante, o gráfico h. (Health Care Management Science, Vol 4, páginas 305-318, 2001, contém o artigo utilizado como base para a carta G do Minitab.) A maioria das aplicações citadas nestes documentos são para monitoramento de taxas de infecção na área da saúde, como infecções hospitalares. Infecções hospitalares são infecções que ocorrem como resultado direto do tratamento de um paciente em uma unidade médica.

Cartas P e U são muitas vezes utilizadas para monitorar eventos adversos, como p.ex. infecções hospitalares. Porém, cartas P e U requerem grandes quantidades de dados e definições específicas dos dados. Por exemplo, se você usar uma carta U para monitorar infecções hospitalares, cada dia que o paciente passa no hospital é considerado uma área de oportunidade na qual uma ou mais infecções podem ocorrer. Assim, os dados são o número de infecções por dia do paciente. Se você usar uma carta P, os dados são o número de dias do paciente nos quais uma ou mais infecções ocorrem. Quanto aos requisitos de dados, se você seguir a prática padrão de exigir um mínimo de 25 a 35 subgrupos para estabelecer limites de controle e a taxa de infecção estiver baixa (por exemplo, < 1%), a quantidade necessária de dados é, pelo menos, 12.500 pacientes (500 pacientes por subgrupo multiplicado por 25 subgrupos). Isso significa que pode levar semanas, meses ou até mesmo anos para acumular dados suficientes para detectar e responder às mudanças na taxa de infecção.

A distribuição geométrica fornece um modelo de probabilidade alternativa. Na distribuição geométrica, você conta o número de oportunidades, antes ou até que o defeito ocorrer. Assim, em uma instituição de saúde na qual você monitora a taxa de infecção, o ideal seria contar o número de pacientes ou de procedimentos até que uma infecção for observada. Embora isso seja o ideal, é também raramente feito, por causa de complicações com a contagem do número real de pacientes no sistema, ou do número de procedimentos. O que é mais frequente é a contagem do número de dias entre infecções observadas. A suposição fundamental na contagem do número de dias é que o número de pacientes ou de procedimentos diários é relativamente constante.

Casos de Uso para carta G

Como mencionado anteriormente, a maioria das aplicações citadas no trabalho de Benneyan são no âmbito de saúde.  Porém, a carta G é adequada para processos em que a taxa de defeitos é muito baixa e em processos que mostram um padrão natural com declínio geométrico. Benneyan [1] cita vários exemplos deste padrão natural de declínio: o número de soldas refeitas por item fabricado, o número de bugs detectados no software, o número de itens em caminhões de entrega e o número das faturas recebidas por dia.

Propriedades da Carta G

Como outras cartas de controle, a carta G tem uma linha de centro e limites de controle superior e inferior. Os cálculos para os limites de controle quase sempre resultam em um limite inferior de controle negativo. Quando o limite inferior de controle calculado for negativo, o limite inferior é definido como 0.

Os dados reais que são desenhados no gráfico são o número de oportunidades entre os defeitos. Em instituições de saúde, as oportunidades são geralmente definidas como dias. Isso faz com que a interpretação da carta G seja incomum, porque, se a taxa de infecção aumentar, o número de dias entre as infecções será reduzido a um valor tão baixo quanto 0, se as infecções ocorrerem no mesmo dia. Ao mesmo tempo, se a taxa diminuir, o número de dias entre as infecções aumenta. Assim, um ponto que está acima do limite superior de controle indica um período excepcionalmente longo de tempo entre eventos adversos. Em outras palavras, a taxa é anormalmente baixa. Portanto, o limite superior de controle é frequentemente usado como uma indicação de que foi feita uma melhoria significativa.

Incluir o teste de Benneyan para detectar taxas excepcionalmente altas de eventos adversos

Um problema com a carta G é que você geralmente não consegue obter pontos abaixo do limite inferior de controle, porque o limite inferior de controle é fixado em 0 e o valor mínimo de dados também é 0. Assim, mesmo que você consiga observar um sinal de que está acima do limite superior de controle, indicando que a taxa de eventos adversos foi excepcionalmente baixa, você não consegue detectar quando a taxa de eventos adversos é excepcionalmente alta. Em termos práticos, você deve estudar uma taxa anormalmente baixa para ver o que estava sendo feito corretamente durante esse período de tempo. Mas você também quer responder o mais rapidamente possível a uma taxa anormalmente elevada para determinar a causa para esse aumento. Assim, a carta G, utilizando apenas Teste 1 (1 ponto fora do limite de controle), não fornece a detecção adequada da mudança na taxa de eventos adversos que é a mais preocupante.

Benneyan [2] discute várias soluções para este problema. Uma solução é usar testes adicionais: Teste 2, Teste 3 e Teste 4. A escolha mais lógica é o Teste 2. Nove pontos em uma linha abaixo da linha central é provavelmente, uma indicação de que a taxa de infecção aumentou. O Minitab recomenda sempre o uso do Teste 1, ativado como padrão e do Teste 2, que é opcional. Os Testes 3 e 4 também são opcionais.

Uma segunda solução é o "Teste de Benneyan", descrito em Benneyan [2]. Os pontos que falham no teste de Benneyan são marcados  no gráfico com a letra “B” maiúscula. Este teste de Benneyan conta o número de pontos consecutivos do gráfico que são iguais a 0. O número de pontos que são necessários para ativar um sinal é uma função da taxa de alarme falso desejada e do processo p. O Minitab baseia a taxa de alarme falso na probabilidade do argumento do Teste 1. Por exemplo, se o argumento do Teste 1 é 3 (o padrão), então a probabilidade de estar acima do limite superior de controle é <= 0,0013499. O Minitab usa isso como o valor alfa no Teste de Benneyan, o que torna a probabilidade de ter um sinal 0 <= 0,0013499. O teste de Benneyan também é ativado como padrão.

Benneyan [2] descreve a potência e Average Run Length (ARL) da carta G para a detecção de alterações na taxa de eventos adversos usando: Teste 1; Teste 1 e 2; e Teste 1e Benneyan. O Teste 1, por si só, é poderoso o bastante para detectar uma diminuição na taxa de eventos adversos. Mas o Teste 1, por si só, não consegue detectar um aumento na taxa de eventos adversos. A utilização do Teste 1 e Teste Benneyan fornece a melhoria mais significativa na capacidade de detectar aumentos na taxa de eventos adversos.

Use Limites de Probabilidade para Reduzir as Taxas de Alarme Falso no Limite Superior de Controle

Outro problema com a implementação comum da carta G é que ela usa o método padrão de construção de cartas de controle, onde a linha central é a média dos dados e os limites de controle são definidos em  ± 3 desvios-padrão da linha central. A distribuição geométrica é altamente distorcida (ver Figura 1), de modo que o resultado do método de desvio padrão ± 3 é que o limite inferior de controle é baixo demais (Isso é improvável, porque o limite inferior de controle é geralmente definido como 0.) e o limite superior de controle não é alto o suficiente.  Um limite superior de controle que não é grande o bastante provoca uma alta taxa de alarme falso no limite superior de controle (ver Figura 2). A taxa de alarme falso para o limite superior de controle (ver Figura 2) é 0,01825. Este valor é mais de 13 vezes maior que a taxa para um gráfico que é baseado em uma distribuição normal, que é 0,0013499.

Outra solução proposta por Benneyan [2] é a utilização de limites de probabilidade. A vantagem do uso de limites de probabilidade, conforme descrito no Benneyan [2], é uma redução drástica da taxa de alarmes falso para o limite superior de controle, que é o limite que sinaliza uma redução na taxa de eventos adversos. O Minitab usa o método de limite de probabilidade para determinar os limites de controle. A probabilidade de ter um ponto que está fora de qualquer dos limites de controle é definida para corresponder à probabilidade de ter um ponto que está fora de um dos limites de controle para um gráfico de controle padrão com base na distribuição normal, como um Gráfico I ou Gráfico Xbar . Usando os 3 limites comuns de desvio-padrão em um Gráfico I ou um Gráfico Xbar, a probabilidade de ter um ponto que está fora do limite superior ou inferior de controle é de 0,0013499. O Minitab usa essa probabilidade para definir os limites superior e inferior de probabilidade para a Carta G, como padrão. O limite inferior de controle é definido no percentil 0,0013499 da distribuição geométrica. O limite superior de controle é definido no percentil 0,99865. A linha central é definida no percentil 0,5, também chamado de mediana.

Carta G - Distribições Geométricas 
Figura 1. PDF para Distribuições Geométricas com diferentes p

Carta G - Gráfico de Distribição 
Figura 2. Probabilidade de X > desvios-padrão + 3 médios

Cálculos utilizados

Notação

Os dados inseridos pertencem a um dos dois tipos:

  • Número entre: O "número" pode se referir a qualquer tipo de intervalo, tais como oportunidades, casos, etc. Neste caso, se os eventos ocorrerem em oportunidades sucessivas, o número entre é 0. Se os eventos ocorrerem na 5ª e 10ª oportunidade, o número entre é 4 (porque havia quatro oportunidades - oportunidades 6, 7, 8 e 9 - sem um evento). Se o usuário inserir este tipo de dados, eles são os valores Xi usados na carta. Todos os dados devem ser números inteiros não negativos (0 é um valor aceitável).

    Observação: Existem duas definições comuns da distribuição geométrica. Uma usa "número entre", como explicado acima. A outra usa "número até", que conta a oportunidade em que o evento ocorreu como parte do número. Se eventos ocorrerem na 5ª e10ª oportunidade, o número até é 5 (6, 7, 8, 9 e 10). Se o usuário digitar os dados do "número até", o Minitab subtrairá 1 dos dados para convertê-los para "número entre".
  • Datas de eventos: Se o usuário inserir datas, o Minitab calcula o Xi assim:

    Que D1, D2, …, DN sejam as datas inseridas. Então X2 = D2 – D1, X3 = D3 – D2, … , XN = DN – DN-1.
  • Observação: Ambos os tipos de dados resultam em um valor mínimo de 0 e ambos resultam em um limite inferior de controle de 0 em todos, exceto os casos mais incomuns (p < 0,00135).

    Xi = pontos do gráfico, como explicado acima

    Xbar = média de Xi

    N = número de valores de dados utilizados nos cálculos (se os dados são datas, subtrair 1, já que usamos diferenças e não há diferença para o primeiro evento)

    phat = estimativa da taxa de eventos adversos (isto é, a probabilidade de um evento ocorrer em um intervalo especificado, como, p.ex., o dia). Se uma estimativa histórica for fornecida, então esse valor é usado. Caso contrário, phat é calculado a partir dos dados da seguinte forma:

    phat = ((N-1)/N)/(Xbar + 1)

    Limites estimados a partir de dados (Método de Limites de Probabilidade)

    p1 = 0.00135

    p2 = 0.5

    p3 = 0.99865 = 1 – p1
      

    LCL = invcdf(p1) usando a distribuição geométrica com phat de parâmetros

    CL  = invcdf(p2) usando a distribuição geométrica com phat de parâmetros

    UCL = invcdf(p3) usando a distribuição geométrica com phat de parâmetros

    Testes de controle padrão usados​na Carta G

    Teste 1: 1 ponto fora dos percentis definidos acima 

    Teste 2: Pontos K em uma linha de um lado da linha central

    Teste 3: Pontos K em uma linha, todos aumentando ou diminuindo

    Teste 4: Pontos K em uma linha, alternando para cima e para baixo

    No Teste 1, se o argumento K for 3, então os valores p1 e p2 definidos acima são usados para obter os limites inferior e superior de controle. Se o argumento do Teste 1, K, não for igual a 3, então defina p1' e p2' como os valores CDF de Normal(0,1) para -K e +K e obtenha os limites inferior e superior de controle utilizando p1' e p2'.

    Teste de Benneyan

    Se o limite inferior de controle for 0, a Carta G não consegue detectar um aumento na taxa de eventos adversos, porque não pode haver pontos abaixo do limite inferior de controle. Portanto, o Minitab aplica um teste adicional para a detecção de um aumento na taxa de eventos adversos. Este teste é descrito em Benneyan [2] e Benneyan [3].

    O Teste de Benneyan usa o seguinte método para determinar, cp, o número de pontos consecutivos iguais a 0 que são necessárias para gerar um sinal:

    cp = ln(CDF Normal (0,1) (-K))/(ln(phat))

    Observação: Calcular a relação acima e arredondar para o próximo número inteiro.

    Observação: CDF Normal (0,1) (-K) é o CDF para a distribuição normal com a média 0, stdev 1, avaliado em –K, onde K é o argumento do Teste 1.
    Cada ponto consecutivo em uma série de pontos que são iguais a 0, onde a série é de duração >= K, é marcado no gráfico com o símbolo “B”. Por exemplo, se cp for igual a 4 e há 5 pontos em uma linha que são iguais a 0, então o 4º e 5º ponto da série são marcados com o símbolo "B" no gráfico.

    Referências

  • Benneyan, JC (2001): “Number-Between g-Type Statistical Quality Control Charts for Monitoring Adverse Events”; Health Care Management Science, Vol 4, pp 305-318; Kluwer Academic Publishers.
  • Benneyan, JC (2001): “Performance of Number-Between g-Type Statistical Control Charts for Monitoring Adverse Events”; Health Care Management Science, Vol 4, pp 319-336; Kluwer Academic Publishers.
  • Benneyan, JC: ”Design and Use of g-Type Control Charts for Industry and Healthcare: SPC Charts for Hospital Infections and Adverse Events”; http://www1.coe.neu.edu/~benneyan/papers/g_chart_overview
  • Benneyan, JC (1991): “Statistical Control Charts Based on Geometric and Negative Binomial Populations”, Tese de mestrado, University of Massachusetts, Amherst.
  • Kaminsky FC, Benneyan JC, Davis RB, e Burke RJ (1992): “Statistical Control Charts Based on a Geometric Distribution”, Journal of Quality Technology, Vol 24(2), pp 63-69.

  • Preparado por Dr. Terry Ziemer, SIXSIGMA Intelligence  

     

    Baixe esse artigo como PDF (somente em inglês)

    Ao usar esse site, você concorda com a utilização de cookies para análises e conteúdo personalizado. Leia nossa política

    OK