Fazer simulação de Monte Carlo no Minitab Statistical Software.

Fazer simulações de Monte Carlo no Minitab Statistical Software é muito fácil. Este artigo ilustra como usar o Minitab em simulações de Monte Carlo, usando tanto uma fórmula de engenharia conhecida quanto uma equação de DOE.

por Paul Sheehy e Eston Martz

A simulação de Monte Carlo usa uma amostragem aleatória repetida para simular dados de um dado modelo matemático e avaliar o resultado.  Este método foi inicialmente aplicado nos anos 1940, quando os cientistas que trabalhavam na bomba atômica usaram o método para calcular as probabilidades de um átomo de urânio em fissão ocasionar a fissão de outro. Com o urânio em escassez, havia pouco espaço para tentativas e erros experimentais. Os cientistas descobriram que desde que pudessem criar dados simulados suficientes, eles poderiam calcular probabilidades confiáveis—e reduzir a quantidade de urânio gasta no teste.

Hoje, os dados simulados são usados rotineiramente em situações onde os recursos são limitados ou obter dados reais é muito caro ou impraticável. Usando a capacidade do Minitab de criar dados aleatórios com facilidade, é possível usar a simulação de Monte Carlo para:

  • Simular a gama de resultados possíveis para ajudar a tomar uma decisão
  • Prever resultados financeiros ou estimar cronogramas de projetos
  • Compreender a variabilidade em um processo ou sistema
  • Encontrar problemas em um processo ou sistema
  • Gerenciar riscos através da compreensão das relações de custo/benefício

Etapas na abordagem de Monte Carlo

Dependendo do número de fatores envolvidos, as simulações podem ser muito complexas. Mas em um nível básico, as simulações Monte Carlo têm quatro etapas simples:

1. Identificar a equação de transferência

Para fazer uma simulação de Monte Carlo, é necessário um modelo quantitativo da atividade, plano ou processo de negócio que deseja-se explorar. A expressão matemática do seu processo é chamada de "equação de transferência". Ela pode ser uma fórmula de engenharia ou de negócios bem conhecida, ou pode ser baseada em um modelo criado a partir de um experimento projetado (DOE) ou análise de regressão.

2. Definir os parâmetros de entrada

Para cada fator em sua equação de transferência, determine como os dados estão distribuídos. Algumas entradas podem seguir uma distribuição normal, enquanto outras seguem uma distribuição triangular ou uniforme. Depois, é necessário determinar parâmetros de distribuição para cada entrada.  Por exemplo, pode ser necessário especificar a média e desvio padrão de entradas que seguem uma distribuição normal.

3. Criar dados aleatórios

Para fazer uma simulação válida, é necessário criar um conjunto de dados aleatórios muito grande para cada entrada—algo na ordem de 100.000 instâncias. Esses pontos de dados aleatórios simulam os valores que seriam vistos ao longo de um grande período, para cada entrada. O Minitab pode criar facilmente dados aleatórios que seguem quase qualquer distribuição que é possível encontrar.

4. Simular e analisar os resultados do processo

Com os dados simulados prontos, é possível usar sua equação de transferência para calcular resultados simulados. Executar uma quantidade grande o bastante de dados de entrada simulados, através do seu modelo, fornecerá uma indicação confiável dos resultados do processo ao longo do tempo, dada a variação antecipada nas entradas.

Estas são as etapas que qualquer simulação de Monte Carlo precisa seguir.  Aqui está como aplicá-las no Minitab.

Monte Carlo usando uma fórmula de engenharia conhecida

Um fabricante precisa avaliar o design de um produto proposto: uma pequena bomba de êmbolo que deve bombear 12 ml de fluido por minuto. Você deseja estimar o desempenho provável em milhares de bombas, dada a variação natural do diâmetro do êmbolo (D), comprimento do curso (L) e cursos por minuto (RPM).  Idealmente, o fluxo da bomba em milhares de bombas terá um desvio padrão menor que 0,2 ml.

Etapa 1: Identificar a equação de transferência

A primeira etapa na simulação de Monte Carlo é determinar a equação de transferência. Neste caso, é possível usar apenas uma fórmula de engenharia estabelecida que meça o fluxo da bomba: 

Fluxo (em ml) =  π(D/2)2 ∗ L ∗ RPM

Etapa 2: Definir os parâmetros de entrada

Agora é necessário definir a distribuição e parâmetros de cada entrada usada na equação de transferência. O diâmetro do êmbolo da bomba e comprimento do curso são conhecidos, mas é necessário calcular os cursos por minuto (RPM) necessários para atingir a taxa de fluxo desejada de 12 ml/minuto. O volume bombeado por curso é fornecido por esta equação: 

π(D/2)2 * L

Dados D = 0,8 e L = 2,5, cada curso desloca 1,256 ml.  Assim, para atingir um fluxo de 12 ml/minuto o RPM é 9,549.

Baseado no desempenho de outras bombas fabricadas em sua fábrica, é possível dizer que o diâmetro do êmbolo tem distribuição normal com uma média de 0,8 cm e desvio padrão de 0,003 cm. O comprimento do curso tem distribuição normal com uma média de 2,5 cm e desvio padrão de 0,15 cm. Finalmente, os cursos por minuto tem distribuição normal com uma média de 9,549 RPM e um desvio padrão de 0,17 RPM.

Etapa 3: Criar dados aleatórios

Agora você está pronto para montar a simulação no Minitab.  Com o Minitab, é possível criar instantaneamente 100.000 linhas de dados simulados.  Começando com os dados do diâmetro do êmbolo, selecione Calc > Random Data > Normal.  Na caixa de diálogo, digite100.000 em "Number of rows of data to generate" (número de linhas de dados para gerar) e digite "D" como a coluna para armazenar os dados.  Digite a média e desvio padrão do diâmetro do êmbolo nos campos apropriados.  Pressione OK para preencher a planilha de dados com 100.000 pontos de dados aleatoriamente amostrados a partir da distribuição normal especificada.

Monte Carlo Criar dados aleatórios 
 
Depois, é só repitir este processo para o comprimento do êmbolo (L) e cursos por minutos (RPM).

Etapa 4: Simular e analisar os resultados do processo

Agora crie uma quarta coluna na planilha de dados, Fluxo, para colocar os resultados dos cálculos dos resultados do processo. Com os dados de entrada gerados aleatoriamente, é possível configurar a calculadora do Minitab para calcular os resultados e armazená-los na coluna Fluxo.  Vá para Calc > Calculator e configure a equação de fluxo da seguinte maneira:

Monte Carlo Inserir equação de transferência

O Minitab calculará rapidamente o resultado de cada linha de dados simulados.

Agora você está pronto para examinar os resultados.  Selecione Stat > Basic Statistics > Graphical Summary e selecione a coluna Fluxo.  O Minitab gerará um gráfico sumário que inclui quatro gráficos: um histograma de dados com uma curva normal sobreposta, boxplot e intervalos de confiança para a média e mediana. O gráfico sumário também exibe os resultados do teste de normalidade de Anderson-Darling, estatísticas descritivas e intervalos de confiança para a média, mediana e desvio padrão.

Monte Carlo Criar sumário gráfico 
 
O gráfico sumário dos resultados da sua simulação de Monte Carlo terá esta aparência: 

Monte Carlo Sumário para Fluxo 
 
Para os dados aleatórios gerados para escrever este artigo, a taxa de fluxo média é 12,0004 baseada em 100.000 amostras. Em média, estamos no alvo, mas o menor valor foi 8,882 e o maior, 15,594. Isto é um intervalo bastante grande.  A variação transmitida (de todos os componentes) resulta em um desvio padrão de 0,757 ml, excedendo em muito o alvo de 0,2 ml.  Também, nós vemos que o alvo de 0,2 ml está fora do intervalo de confiança do desvio padrão.

Parece que esse design de bomba exibe muita variação e precisa ser refinado ainda mais antes de ir à produção; a simulação de Monte Carlo com o Minitab permitiu descobrir isso sem incorrer em despesas de fabricação e teste de milhares de protótipos.

Para você não ficar imaginando se estes resultados simulados se sustentam, tente você mesmo! Criar diferentes conjuntos de dados aleatórios simulados resulta em variações pequenas, mas o resultado final (uma quantidade inaceitável de variação na taxa de fluxo) será sempre consistente. Este é o poder do método de Monte Carlo.

Monte Carlo usando a equação de resposta de um DOE

E se você não souber que equação usar ou se você estiver tentando simular o resultado de um processo único? 

Um fabricante de componentes eletrônicos designou você para melhorar sua operação de limpeza elétrica, que prepara peças de metal para eletrogalvanização. A eletrogalvanização permite que os fabricantes façam o revestimento de matérias-primas com uma camada de um metal diferente para obter características desejadas. O revestimento não adere à superfície suja, assim a empresa tem um sistema de limpeza elétrica de fluxo contínuo que conecta-se a uma máquina de eletrogalvanização automática. Uma esteira mergulha cada peça em um banho que envia voltagem através da peça, limpando-a. Uma limpeza inadequada resulta em um alto valor quadrático médio de rugosidade, ou RMS, e acabamento de superfície ruim. As peças limpadas corretamente tem uma superfície lisa e baixo RMS.

Para otimizar o processo, é possível ajustar suas entradas críticas: tensão (Vdc) e densidade da corrente (ASF). Para seu método de limpeza elétrica, os limites típicos de engenharia para Vdc são 3 a 12 volts. Os limites de densidade de corrente são 10 a 150 amp por pé quadrado (ASF).

Etapa 1: Identificar a equação de transferência

Não é possível usar uma fórmula de livro didático estabelecida neste processo, mas é possível configurar um DOE de superfície de resposta no Minitab para determinar a equação de transferência. Os DOEs de superfície de resposta são frequentemente usados para otimizar a resposta encontrando as melhores configurações para uns "poucos vitais" fatores controláveis.

Neste caso, a resposta será a qualidade da superfície das peças após a limpeza.

Para criar um experimento de superfície de resposta no Minitab, selecione Stat > DOE > Response Surface > Create Response Surface Design.  Como temos dois fatores (tensão [Vdc] e densidade de corrente [ASF])nós selecionaremos um experimento composto central de dois fatores, que tem 13 ensaios. 

Monte Carlo Criar experimento de superfície de resposta 
 
Depois que o Minitab criar seu experimento projetado, será necessário executar seus 13 ensaios experimentais, coletar os dados e registrar a rugosidade de superfície das 13 peças finalizadas. O Minitab facilita a análise dos resultados do DOE, reduz o modelo e verifica as suposições usando gráficos de resíduos.  Usando o modelo final e o otimizador de resposta do Minitab, é possível encontrar as configurações ótimas para suas variáveis.  Neste caso, você definiu a tensão em 7,74 e ASF em 77,8 para obter um valor de rugosidade de 39,4. 

O DOE de superfície de resposta produz a seguinte equação de transferência para a simulação de Monte Carlo:

Rugosidade = 957.8 − 189.4(Vdc) − 4.81(ASF) + 12.26(Vdc2) + 0.0309(ASF2)

Etapa 2: Definir os parâmetros de entrada

Agora é possível ajustar as definições paramétricas dos dados de entrada de sua simulação de Monte Carlo. (Os desvios padrão devem ser conhecidos ou estimados baseado no conhecimento do processo já existente). A tensão tem distribuição normal com média de 7,74 Vdc e um desvio padrão de 0,14 Vdc. Amps por pé quadrado (ASF) atem distribuição normal com média de 77,8 ASF e desvio padrão de 3 ASF.

Etapa 3: Criar dados aleatórios

Com os parâmetros definidos, é simples criar 100.000 linhas de dados simulados para duas entradas usando o diálogo Calc > Random Data > Normal do Minitab.

Etapa 4: Simular e analisar os resultados do processo

Agora é possível usar a Calculadora para inserir nossa fórmula, seguida por Stat > Basic Statistics > Graphical Summary.

Monte Carlo Sumário para RMS

O sumário mostra que apesar das entradas subjacentes serem distribuídas normalmente, a distribuição do RMS da rugosidade não é normal. O sumário também mostra que a variação transmitida de todos os componentes resulta em um desvio padrão de 0,521 e o conhecimento do processo indica que este é um bom resultado para o processo. Baseado em um DOE com apenas 13 ensaios, é possível determinar a realidade que seria vista no processo.

Onde é possível aplicar a simulação de Monte Carlo?

O método de Monte Carlo tem uma longa história desde que revolucionou a pesquisa nuclear nos anos 1940. Hoje, o uso de dados simulados para desenvolver um panorama paramétrico confiável dos resultados de um processo é vital em setores como finanças, fabricação, extração de gás e óleo, farmácia e muito mais.

Em quase todas as situações nas quais é possível desenvolver um modelo matemático, a capacidade do Minitab para criar dados simulados aleatoriamente fornece fácil acesso ao poder da simulação de Monte Carlo.

Este artigo é baseado em uma apresentação de Paul Sheehy, especialista em treinamento técnico da Mintab, na conferência ASQ Lean Six Sigma em fevereiro de 2012.

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