Utilisation de la régression non linéaire dans Minitab pour modéliser la diffusion dans une lampe à décharge haute intensité

Lorsqu'une équipe de projet testant la qualité et la fiabilité des lampes à décharge haute intensité chez Philips Turnhout a eu besoin de modéliser la chimie d'une nouvelle génération de produits, la fonctionnalité de régression non linéaire de Minitab s'est avérée être un outil permettant de rendre les procédures avancées d'ajustement des données très accessibles. 

Par P. Watté, Philips Innovative Applications, Global Technology and Development HID & SL, Belgique

Introduction

Article Philips, P Watte Article Philips, écusson de la société

P. Watté, Philips Innovative Applications 

Chez Philips Turnhout, Minitab est largement utilisé pour différents calculs, afin de vérifier et de démontrer la qualité et la fiabilité des lampes à décharge haute intensité. Récemment, l'une de nos équipes de projet a trouvé une valeur ajoutée aux options d'ajustement de modèle offertes par Minitab. La fonctionnalité de régression non linéaire, notamment, rend les procédures avancées d'ajustement très accessibles. Comme précisé dans cet article, nous l'avons appliquée pour comprendre la chimie au sein du brûleur d'une nouvelle génération de produits.

Philips a développé un nouveau type de lampe à décharge haute intensité, appelé la gamme Philips Mastercolour Evolution. Cette conception révolutionnaire utilise des remplissages aux halogénures métalliques non saturés. Les générations précédentes avaient recours à une surdose de remplissage de sel, ce qui créait également une réserve de sel considérable affectant les performances de la lampe. La nouvelle conception de la lampe élimine ce problème. Par conséquent, il est possible d'obtenir un "faisceau net" et une plus longue durée de vie de la lampe, car la corrosion de l'oxyde d'alumine du brûleur est pratiquement éliminée. La figure 1 montre la lampe à l'étude, une lampe 35 W T Mastercolour Evolution avec une base en céramique. Le tube à décharge possède des bouchons étendus beaucoup plus petits qu'une lampe à décharge haute intensité commerciale classique.

Article Philips, figure 1 : lampe

Figure 1 : lampe 35 W T Mastercolour Evolution. Le brûleur est la partie sphérique à l'intérieur de l'enveloppe de la lampe en quartz.

Énoncé du problème

Le brûleur (partie sphérique à l'intérieur de la lampe où un plasma est généré) est constitué d'oxyde d'alumine polycristalline et est fabriqué par moulage par injection. Malheureusement, les éléments peuvent se diffuser à l'extérieur de la matrice du brûleur sous forme d'oxydes et réagir avec le remplissage de sel. II s'agit d'un problème crucial lié aux nouvelles lampes non saturées. Dans cet article, nous décrivons la façon dont nous avons abordé la diffusion d'un élément particulier (que nous dénommerons simplement "X") à partir de la paroi du tube à décharge. 

Données de la spectroscopie haute résolution

Nous incluons les informations techniques dans cette section par souci d'exhaustivité. Les lecteurs que ces détails de fabrication des lampes n'intéressent pas peuvent ignorer cette section et passer à la suivante, qui traite de l'ajustement du modèle dans Minitab.

Dans une application d'éclairage, le tube à décharge peut atteindre des températures relativement élevées, dans une plage allant de 1 500 à 1 900 K.  Cela conduit à la diffusion d'oxydes et d'autres éléments depuis le matériau du brûleur. La quantité de ces éléments dans la décharge ne peut pas être évaluée directement, mais une évaluation indirecte est possible par le biais de la spectroscopie haute résolution. En zoomant sur l'une de ses raies spectrales dans le spectre haute résolution, la présence de l'élément X dans la décharge peut être estimée.  Ceci est illustré dans la figure 2. 

La diffusion de X depuis le matériau du brûleur est régie par un coefficient de diffusion dépendant de la température.  En effectuant une sélection adéquate des raies spectrales (nous avons normalisé une raie spectrale de X sur une raie spectrale Hg), comme le montre la figure 3, la valeur X/Hg est ajustée à une fonction d'erreur complexe erfc(x), qui est la solution générale à une équation de diffusion.  Six lampes 35W Evolution ont été mesurées après 100, 500, 1 000, 2 000, 4 000, 6 000, 8 000 et 10 000 heures. La boîte à moustaches des valeurs X/Hg est représentée dans la figure 4. Nous avons utilisé ces données pour ajuster une fonction d'erreur complexe. Les logiciels mathématiques peuvent effectuer cette tâche, mais si vous voulez également des limites de fiabilité sur l'ajustement, cela devient assez fastidieux.

Article Philips, figure 2 : spectre

Figure 2 : spectre haute résolution complet (HRS) de la lampe 35 W T Mastercolour Evolution

  Article Philips, figure 3 : détail du spectre

Figure 3 : zoom sur une raie spectrale de X dans le spectre haute résolution.  Nous avons volontairement omis l'échelle de longueur d'onde.

Article Philips, figure 4 : boîte à moustaches

Figure 4 : boîte à moustaches de l'évolution de la ligne optique fine de X par rapport à une ligne Hg en fonction de la durée de vie de la lampe. Chaque case représente 6 lampes.

Ajustement des données dans Minitab

Les données de spectroscopie haute résolution ont été stockées dans deux colonnes d'une feuille de calcul Minitab, illustrée à la figure 5.  La première colonne contient le nombre d'heures de vie de la lampe au moment où la mesure a été effectuée.  La deuxième colonne correspond à la hauteur des valeurs X/Hg enregistrées. Minitab n'a pas de fonction erfc(x) intégrée, mais il est possible d'utiliser Minitab pour effectuer le calcul avec une formule approximative d'Abramowitz et Stegun. 

Article Philips : équation 1

Equation 1. Formule d'Abramowitz et Stegun pour l'approximation de la fonction d'erreur complexe.

Nous allons maintenant expliquer comment l'ajustement s'est fait tout naturellement dans Minitab.

Article Philips, figure 5 : feuille de calcul

Figure 5 : agencement des données dans la feuille de calcul Minitab. La colonne C1 représente la période de vie de la lampe à laquelle la mesure HRS a été effectuée. La colonne C2 correspond au rapport des lignes optiques fines X/Hg.

Pour exécuter l'ajustement erfc, nous avons sélectionné Stat Régression   Régression non linéaire… dans le menu. L'équation de la fonction d'ajustement doit être saisie dans la fenêtre requise.  La syntaxe Minitab est telle que les paramètres d'ajustement doivent être alimentés, comme illustré sur la figure 6.

Article Philips, figure 6 : boîte de dialogue

Figure 6 : La fonction d'ajustement (contenant la fonction d'erreur complexe) est directement saisie dans la fenêtre Fonction de prévision.

Lors de la saisie de la fonction d'ajustement, il est important d'entrer le bon nombre de crochets. 

L'ajustement sera effectué à l'aide de la fonction suivante :

Article Philips : équation 2

Equation 2.

Si vous cliquez sur "OK", Minitab vous invite à saisir deux valeurs estimées pour les paramètres d'ajustement. Ces valeurs de départ seront utilisées dans un algorithme de Levenberg-Marquardt ou de Newton-Gauss afin de trouver les valeurs d'ajustement optimales. Le résultat graphique est représenté à la figure 7.

Article Philips, figure 7 : droite d'ajustement

Figure 7 : ajustement de la fonction d'ajustement de l'équation 2 sur les données du spectre haute résolution de la lampe 35 W Mastercolour Evolution CDM en tant que fonction de la durée de vie.

Finalement, les valeurs résiduelles peuvent également être représentées dans une droite de Henry ou un histogramme. Les valeurs résiduelles doivent suivre une loi de distribution normale pour un bon ajustement de la qualité. Ce qui est manifestement le cas en l'espèce, comme illustré dans les figures 8 et 9. La figure 10 présente la fenêtre Session qui apparaît après l'ajustement. 

Article Philips, figure 8 : droite de Henry

Figure 8 : droite de Henry des valeurs résiduelles.

Article Philips, figure 9 : histogramme

Figure 9 : Graphiques des valeurs résiduelles de l'ajustement : histogramme des valeurs résiduelles.

La figure 10 présente la fenêtre Session qui apparaît après l'ajustement. Elle répertorie la liste des paramètres d'ajustement et leur ErT sur l'estimation, ainsi qu'une vérification de l'inadéquation de l'ajustement.  Elle montre que nous avons utilisé l'algorithme de Newton-Gauss pour l'optimisation de l'ajustement. Avec les valeurs de départ de 0,18, la solution a été obtenue après 11 itérations.

Figure 10 : Sortie de la fenêtre Session après l'ajustement.

Conclusion

Chez Philips Turnhout, Minitab est largement utilisé, afin de vérifier et de démontrer la qualité et la fiabilité des lampes à décharge haute intensité. Comme nous l'avons expliqué, l'une de nos équipes de projet a trouvé une valeur ajoutée à l'utilisation de la régression non linéaire pour comprendre la chimie au sein du brûleur d'une nouvelle génération de produits. L'équipe a constaté que la fonctionnalité de régression non linéaire de Minitab rend les procédures avancées d'ajustement très accessibles. 

Références

1 M. Abramowitz and I. Stegun, “Handbook of mathematical functions”, Nat. bureau of standards, Appl Mathematics series, 55, (1972), p 299.

Remerciements

Nous remercions P. Antonis, R. Raas, D. Vandeperre et K. Denissen pour nous avoir fourni les données et pour nos discussions, ainsi que J. et M. Suijker Meeuwssen pour la révision de ce document.

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