Enseigner les plans d'expériences (DoE) à l'aide d'hélicoptères en papier et de Minitab

Par Matthew Barsalou  

J'ai récemment tenté d'expliquer en trente secondes, à plusieurs ingénieurs, le pourquoi et le comment du plan d'expériences (DoE). Le résultat a été à la hauteur des attentes de tout spécialiste du DoE : un échec total. Si une explication en 30 secondes est quelque peu irréaliste, il est toutefois possible d'introduire le sujet assez simplement et assez rapidement à l'aide d'un hélicoptère en papier.

En effet, en collaboration avec Soren Bisgaard et Conrad Fung, le regretté statisticien George E. P. Box a utilisé un hélicoptère en papier pour enseigner les statistiques, notamment le plan factoriel fractionnaire, une idée ingénieuse toujours exploitée plusieurs décennies plus tard.

L'hélicoptère en papier permet de clarifier rapidement le concept de base du DoE avec une expérience à analyser facilement à l'aide de Minitab.

Objectif : Fabriquer un hélicoptère en papier de meilleure qualité

Pour effectuer un DoE à l'aide d'un hélicoptère en papier, nous devons identifier le résultat attendu, résultat qui constituera notre variable de réponse. Indiquer que nous souhaitons obtenir un hélicoptère de meilleure qualité ne suffit pas. Nous devons définir clairement la notion de qualité.

La qualité peut signifier dans notre exemple un temps de vol satisfaisant. La variable de réponse correspondrait au temps de vol, mesuré par la durée entre le moment où l'hélicoptère est lâché d'une hauteur de 2 mètres et le moment où il heurte le sol. Si l'on ne définit pas les conditions du test, il est possible que les modèles d'hélicoptères soient lâchés de différentes hauteurs, auquel cas les résultats de notre plan ne seront pas valides.

Les facteurs de test susceptibles d'influer sur le temps de vol doivent également être identifiés. Dans le cas de notre hélicoptère, les facteurs sont les suivants : type de papier, longueur des pales, longueur de la base, largeur de la base et trombone. Il est possible de faire varier les niveaux d'expérience en utilisant deux types de papier différents, une base et des pales plus longues ou plus courtes, et en ajoutant ou en retirant le trombone.

Fabrication

Voici comment fabriquer un hélicoptère en papier.

  • Etape 1 : Découpez une bande de papier de 5 cm de largeur.
  • Etape 2 : Découpez le papier de façon à prévoir la longueur des pales, la longueur de la base, puis ajoutez 2 cm pour la partie centrale.
  • Etape 3 : Découpez le papier en suivant les pointillés au niveau des bandes A et C. La longueur de chaque bande est égale à 5 cm moins la largeur de la bande, divisée par 2.
  • Etape 4 : Pliez la bande A sur la bande B.
  • Etape 5 : Pliez la bande C sur la bande B.
  • Etape 6 : Pliez la pale A et la pale B dans le sens opposé. Elles doivent former un angle de 90° avec la partie centrale de l'hélicoptère et former à elles deux un angle de 180°.
  • Etape 7 : Version du trombone, ajoutez un trombone en bas de la base.

Figure 1 : Schéma de l'hélicoptère

Figure 2 : Hélicoptère terminé

Facteur   Paramètre mini (-)   Paramètre maxi (+)  
Type de papier Léger Lourd
Longueur des pales 7,5 cm 8,5 cm
Longueur de la base 7,5 cm 12,0 cm
Largeur de la base 3,2 cm 5,0 cm
Présence d'un trombone au niveau de la base Non Oui

Tableau 1 : Facteurs relatifs à l'hélicoptère

Conception du plan d'expériences

Les statisticiens et les Black Belts Six Sigma doivent savoir configurer et effectuer manuellement les calculs d'un plan d'expériences. Toutefois, les logiciels simplifient considérablement la réalisation d'un DoE, notamment pour les personnes qui n'en ont encore jamais réalisé ou qui ne créent de plans qu'occasionnellement.

Pour créer un plan factoriel fractionnaire dans Minitab , optez pour le sous-menu DOE (plan d'expériences) > Factoriel > Créer un plan factoriel. Dans la boîte de dialogue alors affichée, sélectionnez le plan souhaité.

Pour cette expérience, nous utiliserons un plan factoriel à 2 niveaux pour traiter deux à quinze facteurs différents. Pour paramétrer le plan souhaité, dans Minitab, indiquez 5 dans le champ Nombre de facteurs; puis cliquez sur Plans afin de sélectionner le plan et le niveau de résolution souhaités.

La résolution est le degré d'alias des effets pour les autres effets. En d'autres termes, les effets ayant des alias sont mélangés et ne peuvent pas être estimés séparément. Ce phénomène peut également être désigné sous le terme de confusion. Celle-ci résulte de l'absence de test de l'ensemble des combinaisons possibles de facteurs. C'est l'inconvénient du plan factoriel fractionnaire. Un inconvénient qui peut également se muer en avantage car, par rapport à un plan factoriel complet, le fait de ne pas tester chaque combinaison possible peut permettre de gagner du temps et de réaliser des économies.

Si vous n'êtes pas certain de la résolution à utiliser, cliquez sur Afficher les plans disponibles…. Vous accéderez à une liste de plans et de résolutions.

Dans le domaine de la qualité, nous utilisons en général trois niveaux de résolution : résolution III, IV et V. Il n'y a pas de risque de confusion des effets principaux dans ces trois types de résolutions. En revanche, dans un plan de résolution III, les effets principaux seront confondus avec les interactions à deux facteurs. Les plans de résolution IV ne comportent pas de confusion d'interactions à 2 facteurs avec les effets principaux, mais les interactions à 2 facteurs ont des alias pour les autres interactions à 2 facteurs et les effets principaux sont confondus avec les interactions à 3 facteurs.

Il est préférable d'utiliser des plans de résolution IV au lieu de plans de résolution III en raison de leur nombre inférieur d'alias. De plus, les plans de résolution IV nécessitent tout de même moins d'essais que des plans de résolution supérieure.

Les plans de résolution V présentent également l'avantage suivant : aucun effet à 2 facteurs n'est confondu avec d'autres effets à 2 facteurs. Toutefois, les effets à 2 facteurs ont des alias pour les effets à 3 facteurs, de même que les effets principaux pour les effets à 4 facteurs.

Il est possible d'éliminer le problème de confusion en procédant à un plan factoriel complet. Néanmoins, ce dernier nécessite davantage d'essais, potentiellement plus longs et plus coûteux.

D'après le tableau proposé lorsque nous cliquons sur le bouton Afficher les plans disponibles de Minitab, nous pouvons réaliser un plan factoriel fractionnaire à l'aide d'un plan de résolution III ou de résolution V pour l'expérience de l'hélicoptère à 5 facteurs. Un plan de résolution III ne nécessiterait que 8 essais, mais le plan de résolution V, qui requiert 16 essais, constitue la meilleure option. Cliquez sur Plans… et sélectionnez le plan souhaité.

Lors de la configuration du plan, Minitab vous invite également à spécifier le nombre de blocs. Les blocs sont des groupements homogènes de mesures tenant compte des variations. La valeur par défaut est 1 ; dans l'idéal, tous les éléments sont homogènes.

Le plan d'expériences de l'hélicoptère sera configuré de façon à ce que nous ayons un seul bloc : chaque feuille de papier proviendra de la même ramette ; les hélicoptères seront tous fabriqués par la même personne, à l'aide des mêmes ciseaux et de la même règle. En cas de pénurie de trombones nous obligeant à utiliser des trombones de deux fabricants différents, nous aurions besoin de blocs pour tenir compte des variations potentielles au niveau des trombones. Heureusement, ce n'est pas le cas.

Une fois le plan sélectionné, cliquez sur le bouton Facteurs pour saisir le nom et le niveau des variables de votre plan d'expériences. Pour modifier le nom d'un facteur, saisissez-le simplement au-dessus de la lettre dans le champ en question. Vous pouvez également renommer les paramètres de facteurs en remplaçant les valeurs par défaut (-1 et 1) par les niveaux de facteurs réels.

Une fois la boîte de dialogue complétée, Minitab crée le plan d'expériences et l'affiche dans une feuille de travail. La fenêtre de Session décrit le plan sélectionné, ainsi que la structure des alias obtenue.

Dans la feuille de travail Minitab obtenue, illustrée ci-dessus, les résultats du plan d'expériences sont saisis dans la colonne C10. Nous pouvons nommer la colonne "Temps de vol" car il s'agit de notre variable de réponse.

Un ordre d'essai aléatoire est fourni dans la colonne "OrdEssai". Sans randomisation, les résultats du plan d'expériences risquent de refléter, avec le temps, des variations inconnues dans le système de test. Par exemple, dans le cas de l'hélicoptère, les ciseaux peuvent peu à peu être moins précis, et donner des coupes légèrement différentes pour chaque modèle fabriqué.

Par défaut, Minitab définit une réplique pour un plan d'expériences. Si vous observez une variation importante dans le procédé ou les mesures obtenues, vous pouvez sélectionner Stat > DOE (plan d'expériences) > Modifier le plan pour ajouter des répliques à votre plan. Supposons que la personne fabriquant les hélicoptères ait du mal à suivre une ligne droite pour la découpe du papier et que les bords ne soient, par conséquent, pas uniformes : les différences au niveau des résultats peuvent refléter cette variation. Répliquer les essais réduit les effets de ce type de variation imprévue.

Collecte des données expérimentales

La variabilité peut avoir un impact majeur sur les résultats expérimentaux. Prenez donc les mesures qui s'imposent pour réduire la variabilité. Demandez à la même personne de fabriquer l'ensemble des hélicoptères, à l'aide des mêmes ciseaux et de la même règle. Lâchez les hélicoptères d'une hauteur de 2 mètres et marquez clairement le point de départ, ainsi vous lâcherez tous les hélicoptères de la même hauteur. Un point de départ plus haut ou plus bas peut influer sur le temps de vol, ce qui risque d'avoir un impact sur les résultats. Les hélicoptères doivent également être tenus et lâchés de la même façon. Sinon, la variation de nos données sera due au lancer et non à la conception de l'hélicoptère.

La feuille de travail Minitab ci-dessous présente les résultats expérimentaux répertoriés dans la colonne C10 "Temps de vol".

Analyse des données

Une fois le plan d'expériences effectué et les données collectées saisies dans la feuille de travail Minitab, sélectionnez DOE (plan d'expériences) > Plan factoriel > Analyser un plan factoriel…  

Les facteurs significatifs sont ceux qui influencent la réponse lorsque les paramètres sont modifiés. Lorsque vous cliquez sur OK, Minitab génère un tableau d'analyse de la variance (ANOVA), ainsi qu'un diagramme de Pareto des effets utile à l'identification des facteurs significatifs.

Dans un tableau ANOVA, les facteurs dont la valeur de p est inférieure à 0,05 sont statistiquement significatifs. Or, le tableau ANOVA de ce modèle ne comprend aucune valeur de p !

Cela s'explique par l'absence de degrés de liberté pour l'erreur une fois l'ensemble de nos facteurs inclus dans le modèle. Or, vous avez besoin d'au moins 1 degré de liberté pour calculer les valeurs de p. Toutefois, si nous ne pouvons pas accepter ce modèle sur la base des résultats de l'ANOVA, nous pouvons utiliser la droite de Henry ou le diagramme de Pareto pour identifier les facteurs et les interactions non significatifs.

A ce stade habituellement, l'expérimentateur commence à éliminer ces facteurs, réexécutant l'analyse jusqu'à ce qu'il ne reste plus que les facteurs et les interactions significatifs. Cette méthode est appelée "réduction du modèle". Lorsque les facteurs sont supprimés du modèle, des degrés de liberté supplémentaires sont disponibles pour le calcul des valeurs de p. Le nombre de modèles à évaluer dépend du nombre de facteurs de votre analyse.

Grâce à la fonction "pas à pas" de Minitab 17, la réduction du modèle est facilitée. Pour utiliser cette fonction, revenez à la boîte de dialogue Analyser un plan factoriel…, sélectionnez la réponse C10 Temps de vol, puis appuyez sur le bouton Pas à pas...

La fonction Régression pas à pas simplifie et accélère la sélection du modèle optimal pour vos données en supprimant automatiquement les facteurs de façon à identifier le modèle qui correspond le mieux à vos données. Vous pouvez choisir une méthode d'analyse pas à pas parmi les trois suivantes :  Pas à pas, Sélection ascendante et Elimination descendante. Dans le cas de l'élimination descendante, tous les facteurs sont compris dans l'analyse initiale, puis les facteurs non significatifs sont supprimés l'un après l'autre.

Quelle que soit la méthode pas à pas employée, le modèle sélectionné par Minitab comprend les facteurs significatifs suivants :

Pour vous aider à interpréter vos résultats, Minitab peut également fournir un graphique des effets principaux et un diagramme des interactions. Sélectionnez le sous-menu DOE (plan d'expériences) > Plan factoriel > Diagrammes factoriels… Comme nous avons déjà analysé les résultats, Minitab sélectionne automatiquement les facteurs utilisés dans notre modèle :

Lorsque vous cliquez sur OK, le logiciel affiche le diagramme et le graphique des interactions et des effets principaux significatifs. Le graphique des effets principaux affiche les résultats du passage d'un paramètre à un autre pour chaque facteur.

Le diagramme des interactions présente les interactions entre les facteurs.

Enfin, nous pouvons utiliser l'optimisation des réponses afin d'identifier la combinaison de paramètres de facteurs qui nous donnera le temps de vol le plus long. Sélectionnez Stat > DOE (plan d'expériences) > Factoriel > Optimisation des réponses…

L'optimisation produit le graphique affiché ci-dessous. En rouge, apparaissent les paramètres de facteur optimaux. En bleu, la réponse prévue concernant les hélicoptères conçus avec ces paramètres :

Conclusion

Compte tenu des données que nous avons collectées, notre analyse, réalisée à l'aide de Minitab, révèle les paramètres optimaux suivants : un papier plus léger, des pales plus longues, une base plus courte, une base plus étroite et aucun trombone sur la base.

Pour concevoir un hélicoptère d'une qualité encore supérieure, nous pourrions répéter l'ensemble du plan d'expériences en utilisant cette fois du papier encore plus léger et des pales encore plus longues. Une aile de 50 cm est certes plus volumineuse, mais elle ne constitue pas un gage de meilleure qualité. Vous pouvez prévoir les paramètres idéaux sur la base des résultats du DoE, mais vous devez toujours faire preuve de prudence lorsque vous extrapolez les résultats au-delà du fichier de données. Sinon, votre hélicoptère pourrait ne pas voler.

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