Pourquoi les plans de criblage définitif peuvent-ils être considérés comme des plans définitifs ?

Les plans de criblage définitif sont une nouvelle catégorie de plans d'expériences apparue assez récemment, ils sont disponibles dans Minitab. Dans cet article, Bruno Scibilia, Formateur Minitab, vous explique l'intérêt de ces plans et précise dans quel cadre vous pouvez les exploiter.

Plusieurs types de plans d'expériences sont disponibles pour l’optimisation des processus ou de nouveaux produits :

  1. Les Plans de criblage, pour identifier les quelques facteurs vraiment significatifs parmi un très grand nombre de termes (candidats) potentiels
  2. Les Plans factoriels 2k, pour prendre en compte les interactions entre facteurs, en plus des effets principaux et construire des modèles plus exhaustifs
  3. Les Plans en surface de réponse, pour décrire les effets quadratiques et identifier les combinaisons optimales.

Les plans de criblage définitif ont de nombreuses caractéristiques en commun avec ces trois types de plans très différents.

 

Plans de surface de réponse

Les plans de criblage définitif sont des plans à trois niveaux qui permettent d'étudier les courbures et effets quadratiques. Cependant, avec un seul point central et un nombre de tests beaucoup plus faible que dans un plan de surface de réponse standard, la probabilité de détection des termes quadratiques significatifs (le niveau de puissance) n'est pas aussi élevée dans un plan de criblage définitif.

Plans de criblage

Les plans de criblage définitif sont bien sûr, avant tout, des plans de criblage, car le nombre de termes à estimer dans un modèle quadratique complet, par exemple, est généralement beaucoup plus grand que le nombre de tests effectués. Les plans de criblage traditionnels, de type Plackett et Burman permettent d'étudier uniquement les effets principaux, alors que les plans de criblage définitif peuvent être utilisés pour étudier non seulement les effets principaux mais aussi les interactions à deux facteurs ainsi que les effets quadratiques.

Plans fractionnaires factoriels

Contrairement aux plans fractionnaires factoriels dans lesquels certains termes sont totalement confondus, dans les plans de criblage définitif, les interactions entre deux facteurs sont partiellement confondues entre elles et sont également partiellement confondues avec les termes quadratiques. Dans un plan de criblage définitif, cependant, tous les effets principaux sont exempts d’alias (non confondus avec aucun autre terme), tout comme les plans fractionnaires de résolution IV.

Les plans de criblage définitif peuvent donc être considérés comme des plans d’expériences très polyvalents, ils sont définitifs en ce sens qu'ils fournissent une solution exhaustive et polyvalente pour planifier des essais.

Structure d'un plan de criblage

Lorsque vous effectuez une simulation de Monte Carlo, si la capabilité prévue est insuffisante et si des améliorations supplémentaires sont nécessaires pour atteindre un niveau de qualité acceptable, la variabilité de certains paramètres d’entrée devra être réduite.

Considérons la structure du plan de criblage définitif, ci-dessous.

 

Matrice des essais d’un plan de criblage définitif avec treize essais et six facteurs.

Points centraux et axiaux

Vous remarquerez que la dernière ligne du plan de criblage définitif ci-dessus est un point central (tous les niveaux des facteurs sont fixés à 0), alors que pour toutes les autres lignes du plan, le niveau d’un seul facteur est fixé à 0 (dans la diagonale du plan). Dans un plan en surface de réponse, les lignes avec le niveau d’un seul facteur fixé à 0 représentent des points axiaux (en étoile). Ce plan à trois niveaux permet d'étudier les effets quadratiques. Avec un seul point au centre, seuls les effets quadratiques substantiels seront remarqués. Si l'objectif est de déterminer l'optimum, l'expérimentateur ne sera de toute façon intéressé que par les courbures les plus importantes qui s’écartent vraiment du simple modèle linéaire.

 

« Fold-Over » (pliage) pour chaque paire de lignes

Considérons les deux premières lignes du plan, la deuxième ligne est une image miroir (repliée) de la première ligne (avec tous les signes systématiquement modifiés). Il s’agit d’une technique bien connue pour convertir un plan de criblage en un plan factoriel de résolution IV (de sorte que tous les effets principaux soient exempts d’alias).

Dans un plan factoriel fractionnaire de résolution III, par exemple, les interactions entre deux facteurs sont (complètement) aliasées avec des effets principaux. Mais si le plan initial est répliqué avec tous les signes des facteurs systématiquement changés (repliés) dans une fraction complémentaire, en combinant les deux fractions (initiale et repliée), on obtient un plan factoriel de résolution IV dans lequel les effets principaux ne sont plus confondus avec des interactions à deux facteurs.

Toutes les lignes de ce plan de criblage définitif (à l'exception du point central) sont une image miroir d'une autre ligne (par paire).

Grâce à cela, dans un plan de criblage définitif, aucune interaction entre deux facteurs ne sera aliasée avec un facteur principal, bien que les interactions entre deux facteurs soient (partiellement) confondues les unes avec les autres. Les effets du second ordre (quadratiques) sont également partiellement confondus avec les interactions entre deux facteurs et les uns avec les autres, mais les effets principaux sont protégés contre toute confusion.

Dans un plan de criblage définitif avec 13 essais et 6 facteurs DSD, par exemple :

  • les corrélations entre interactions à deux facteurs vont de ± 0,25 à ± 0,5 (confusions partielles)
  • les corrélations entre effets quadratiques sont égales à 0.133
  • les corrélations entre interactions et effets quadratiques sont égales soit à 0 soit à ± 0,465.

Pourquoi les plans de criblage définitif peuvent-ils être considérés comme des plans définitifs ?

L'approche traditionnelle pour planifier des essais consiste à commencer par un plan de criblage afin d’identifier les effets principaux qui sont vraiment importants, puis à transformer ce plan de criblage en un plan de résolution IV pour pouvoir estimer les interactions entre deux facteurs.

Ceci peut être obtenu soit en repliant le plan de criblage initial (technique de « Fold-Over»), soit en tirant parti des propriétés "projectives" des plans de criblage.

En réduisant le nombre de termes et en ne conservant que les facteurs qui sont statistiquement significatifs, on peut souvent obtenir un plan complet 2k (avec quelques répliques) pour les termes restants. Parfois, tous les essais nécessaires pour un plan factoriel complet sont déjà disponibles dans le plan de criblage initial, de sorte qu'aucun essai supplémentaire ne sera nécessaire (il s’agit des propriétés "projectives" des plans de criblage).

Enfin, en ajoutant quelques points axiaux et centraux, le plan factoriel peut être converti en un plan en surface de réponse.

Les plans de criblage définitif permettent de faire tout cela en une seule étape, en ce sens ils sont définitifs.

Analyse des résultats d'un plan de criblage définitif

En raison du très grand nombre de termes potentiels dans un modèle quadratique complet (effets principaux plus interactions à deux facteurs, plus effets quadratiques), avec souvent plus de termes que d'essais, aucun degré de liberté n'est habituellement disponible pour estimer le terme d'erreur. Les plans de criblage définitif sont souvent des plans entièrement saturés, de sorte qu'une régression Pas à Pas s’avère nécessaire au niveau de l'analyse. Voici d'ailleurs la suggestion affichée dans ce sens par Minitab :

"Envisagez d'exécuter l'analyse avec une procédure pas à pas pour vous aider à identifier les termes importants."

Les plans de criblage définitif sont basés sur le principe de "parcimonie". Nous nous attendons à ce que, parmi un très grand nombre de termes potentiels, peu d’entre eux s’avéreront être vraiment significatifs.

Dans la version la plus récente du logiciel de statistiques Minitab, des critères d'information ascendantes (AICc et BIC) ont été ajoutés au niveau de la méthode Pas à Pas. Ils apportent une amélioration significative dans l’identification d’un modèle final qui soit le meilleur possible. En particulier, le critère d’Akaike corrigé (AICc) est très efficace lorsque le nombre de paramètres est élevé par rapport à l'effectif des données, ce qui est généralement le cas dans les plans de criblage DSD. Ce critère AICc pénalise des modèles complexes (qui incluent de nombreux termes) ce qui permet de réduire le risque de surajustement du modèle et donc d’identifier un modèle à la fois « parcimonieux » et de bonne qualité.

Conclusion

Les plans de criblage définitif sont des plans polyvalents et très flexibles. Comparés aux plans de surfaces de réponse standards, le niveau de puissance pour détecter les effets quadratiques est certainement beaucoup plus faible. À cet égard, les plans de criblage définitif peuvent apparaître comme une alternative peu coûteuse par rapport aux plans centrés composites ou Box-Behnken, avec beaucoup moins d’essais, un seul point au centre et évidemment un niveau de puissance bien moindre.

L'étape d'analyse est plus complexe que dans les plans factoriels standards, puisque les plans de criblage définitif sont souvent des plans complètement saturés avec des termes partiellement confondus. Ils donnent des résultats satisfaisants lorsque le principe de « parcimonie » s'applique, avec idéalement un modèle sous-jacent pas trop complexe par rapport au très grand nombre de termes candidats initiaux.

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