Réaliser une simulation de Monte-Carlo à l'aide de Minitab Statistical Software

Cet article explique comment réaliser une simulation de Monte-Carlo à l'aide du logiciel de statistiques Minitab et d'une formule technique connue ou d'une équation de plan d'expériences.

Par Paul Sheehy et Eston Martz

La simulation de Monte-Carlo utilise un échantillonnage aléatoire répété pour simuler les données d'un modèle mathématique donné et évaluer les résultats. Alors qu'ils travaillaient sur la bombe atomique dans les années 1940, des scientifiques ont utilisée cette méthode pour calculer la probabilité qu'un atome d'uranium en fission provoque une réaction de fission sur un autre. Ne possédant que peu d'uranium, ils disposaient d'une marge d'erreur et d'une marge de manœuvre réduites. Les scientifiques ont alors découvert que tant qu'ils créeraient une quantité suffisante de données simulées, ils pourraient calculer des probabilités fiables, et réduire la quantité d'uranium nécessaire pour mener à bien leurs tests.

Aujourd'hui, les données simulées sont en général utilisées lorsque les ressources sont limitées ou lorsque recueillir des données réelles serait trop onéreux ou trop difficile. Grâce à Minitab et à sa capacité à créer facilement des données aléatoires, vous pouvez utiliser la simulation de Monte-Carlo pour :

  • simuler la plage de résultats possibles afin de faciliter une prise de décision ;
  • prévoir des résultats financiers ou évaluer les délais d'un projet ;
  • comprendre la variabilité d'un procédé ou d'un système ;
  • détecter les problèmes d'un procédé ou d'un système ;
  • gérer les risques en comprenant le rapport coûts/bénéfices.

Etapes de la simulation de Monte-Carlo

Selon le nombre de facteurs impliqués, les simulations peuvent s'avérer très complexes. Mais à la base, toutes les simulations de Monte-Carlo comportent quatre étapes simples :

1. Identifier l'équation de transfert

Pour effectuer une simulation de Monte-Carlo, vous avez besoin d'un modèle quantitatif de l'activité, du projet ou du procédé de l'entreprise que vous souhaitez étudier. L'expression mathématique de votre procédé s'appelle l'"équation de transfert". Il peut s'agir d'une formule technique ou commerciale connue. Elle peut également être basée sur un modèle créé à partir d'un plan d'expériences ou d'une analyse de régression.

2. Définir les paramètres d'entrée

Pour chaque facteur de votre équation de transfert, déterminez le mode de distribution de ses données. Certaines données entrées peuvent suivre la loi normale, tandis que d'autres suivent une loi uniforme ou triangulaire. Vous devez ensuite déterminer les paramètres de distribution pour chaque entrée. Par exemple, vous devez spécifier la moyenne et l'écart type des entrées suivant une loi normale.

3. Créer des données aléatoires

Pour effectuer une simulation valide, vous devez créer un très grand ensemble de données aléatoires pour chaque entrée, de l'ordre de 100 000 instances. Ces points de données aléatoires simulent les valeurs constatées sur une longue période pour chaque entrée. Minitab peut créer facilement des données aléatoires qui suivent presque toutes les distributions que vous êtes susceptible de rencontrer.

4. Simuler et analyser les résultats du procédé

Une fois les données simulées en place, vous pouvez utiliser votre équation de transfert pour calculer les résultats simulés. Analyser une quantité assez importante de données d'entrée simulées via votre modèle vous donnera une indication fiable des résultats du procédé dans le temps, avec la variation anticipée des entrées.

Voici comment suivre ces étapes de la simulation de Monte Carlo à l'aide de Minitab.

Simulation de Monte-Carlo à l'aide d'une formule connue

Une entreprise de production doit évaluer la conception d'un produit donné : une petite pompe à piston devant pomper 12 ml de liquide par minute. Vous voulez estimer les performances probables sur des milliers de pompes, avec une variation naturelle donnée dans le diamètre du piston (D), la longueur de course (L), et les courses par minute (tr/min). Idéalement, le débit de la pompe parmi des milliers de pompes présentera un écart type inférieur ou égal à 0,2 ml.

Etape 1 : Identifier l'équation de transfert

La première étape de la simulation de Monte-Carlo consiste à déterminer l'équation de transfert. Dans ce cas, vous pouvez simplement utiliser une formule technique établie qui mesure le débit de la pompe : 

Débit (en ml) =  π(D/2)2 ∗ L ∗ tr/min

Etape 2 : Définir les paramètres d'entrée

Vous devez maintenant définir la loi et les paramètres de chaque entrée utilisée dans l'équation de transfert. La longueur de course et le diamètre du piston de la pompe sont connus, mais vous devez calculer le nombre de courses par minute (tr/min) nécessaire pour obtenir le débit souhaité de 12 ml/minute. Le volume pompé par course est donné par l'équation suivante : 

π(D/2)2 * L

Soit D = 0,8 et L = 2,5, chaque course déplace 1,256 ml. Ainsi, pour obtenir un débit de 12 ml/minute, le nombre de tr/min est de 9,549.

Sur la base des performances des autres pompes fabriquées par votre entreprise, vous pouvez constater que le diamètre du piston est normalement distribué avec une moyenne de 0,8 cm et un écart type de 0,003 cm. La longueur de course est normalement distribuée avec une moyenne de 2,5 cm et un écart type de 0,15 cm. Enfin, le nombre de courses par minute est normalement distribué avec une moyenne de 9,549 tr/min et un écart type de 0,17 tr/min.

Etape 3 : Créer des données aléatoires

Vous êtes maintenant prêt à configurer la simulation dans Minitab. Avec Minitab, vous pouvez créer instantanément 100 000 lignes de données simulées. En commençant par les données simulées relatives au diamètre du piston, sélectionnez Calc > Données aléatoires > Normale. Dans la boîte de dialogue, saisissez 100 000 dans le champ Nombre de lignes de données à générer, et indiquez "D" pour la colonne dans laquelle stocker les données. Entrez la moyenne et l'écart type relatifs au diamètre du piston dans les champs appropriés. Cliquez sur OK pour que la feuille de travail comporte les 100 000 points de données échantillonnés de façon aléatoire à partir de la loi normale spécifiée.

Monte-Carlo - Création de données aléatoires 
 
Répétez ensuite simplement cette procédure pour la longueur de course (L) et le nombre de courses par minute (tr/min).

Etape 4 : Simuler et analyser les résultats du procédé

Créez maintenant une quatrième colonne dans la feuille de travail, Débit, qui comportera les résultats des calculs de sortie de votre procédé. Une fois les données d'entrée générées de façon aléatoire en place, vous pouvez configurer la calculatrice de Minitab pour calculer les résultats et les stocker dans la colonne Débit. Accédez à Calc > Calculatrice, et définissez l'équation de débit comme suit :

Monte-Carlo - Saisie de l'équation de transfert

Minitab calculera rapidement les résultats pour chaque ligne de données simulées.

Vous êtes maintenant prêt à consulter les résultats. Sélectionnez Stat > Statistiques élémentaires > Récapitulatif graphique, puis la colonne Débit. Minitab générera un récapitulatif graphique incluant quatre graphiques : un histogramme de données avec une courbe normale superposée, une boîte à moustaches et des intervalles de confiance pour la moyenne et la médiane. Le récapitulatif graphique présente également les résultats du test de normalité d'Anderson-Darling, les statistiques descriptives et les intervalles de confiance correspondant à la moyenne, la médiane et l'écart type.

Monte-Carlo - Création du récapitulatif graphique 
 
Voici le récapitulatif graphique des résultats de votre simulation de Monte-Carlo :

Monte-Carlo - Récapitulatif pour le débit 
 
Concernant les données aléatoires générées pour écrire cet article, le débit moyen sur la base de 100 000 échantillons est de 12,004. En moyenne, nous avons atteint notre objectif, mais la plus petite valeur était de 8,882 et la plus grande, de 15,594. Il s'agit d'une plage de valeurs assez vaste. La variation transmise (de tous les composants) donne lieu à un écart type de 0,757 ml, dépassant largement l'objectif de 0,2 ml. Nous constatons également que l'objectif de 0,2 ml se situe en dehors de l'intervalle de confiance pour l'écart type.

Il semble que la conception de cette pompe présente une trop grande variation et doive être perfectionnée avant de partir en production. La simulation de Monte-Carlo effectuée dans Minitab nous a permis de parvenir à cette conclusion sans impact sur les dépenses liées à la production et sans que nous ayons à tester des milliers de prototypes.

Créer différents ensembles de données aléatoires simulées donnera lieu à des variations mineures, mais le résultat final (une quantité inacceptable de variation dans le débit) sera constant. C'est la puissance de la méthode de Monte-Carlo.

Simulation de Monte-Carlo à l'aide d'une équation de réponse du plan d'expériences

Cette seconde démarche est appropriée si vous ne savez pas quelle équation utiliser ou si vous essayez de simuler les résultats d'un procédé unique.

Un fabricant en électronique vous a demandé d'améliorer ses opérations de nettoyage électronique, qui permettent de préparer les pièces métalliques à la galvanoplastie. La galvanoplastie permet aux fabricants de recouvrir les matières premières d'une couche d'un autre métal pour obtenir les caractéristiques souhaitées. Le placage n'adhérant pas à une surface sale, la société dispose d'un système de nettoyage électronique à flux continu relié à une machine de galvanoplastie automatique. Un tapis plonge chaque pièce dans un bain qui envoie une tension dans la pièce, la nettoyant. Un nettoyage inadéquat produit une valeur moyenne quadratique de la rugosité moyenne (Rq) élevée et une finition de surface faible. Les pièces correctement nettoyées présentent une surface lisse et une valeur Rq faible.

Pour optimiser le procédé, vous pouvez ajuster deux entrées importantes : la tension (Vcc) et la densité de courant (A/m2). Pour votre méthode de nettoyage électronique, les limites techniques générales pour la tension Vcc sont les suivantes : de 3 à 12 volts. Les limites pour la densité de courant sont les suivantes : de 107 à 1 612 ampères par mètre carré.

Etape 1 : Identifier l'équation de transfert

Vous ne pouvez pas utiliser une formule établie pour ce procédé, mais vous pouvez configurer un plan d'expérience de surface de réponse à l'aide du menu Plan d'expériences (DoE) de Minitab pour déterminer l'équation de transfert. Les plans de surface de réponse sont souvent utilisés pour optimiser la réponse en recherchant les meilleurs paramètres pour des facteurs contrôlables "rares vitaux" (vital few dans Minitab en anglais).

Dans ce cas, la réponse sera la qualité de la surface des pièces après nettoyage de ces dernières.

Pour créer un plan de surface de réponse dans Minitab, sélectionnez Stat > DOE (plan d'expériences) > Surface de réponse > Créer un plan de surface de réponse. Comme nous disposons de deux facteurs, la tension (Vcc) et la densité de courant (A/m2), nous sélectionnerons un plan composite centré à 2 facteurs, avec 13 essais.

Monte-Carlo - Création d'un plan de surface de réponse 
 
Une fois que Minitab a créé votre plan d'expériences, vous devez exécuter vos 13 essais expérimentaux, collecter les données, et enregistrer la rugosité de la surface des 13 pièces finies. Minitab facilite l'analyse des résultats du plan, la réduction du modèle et la vérification des hypothèses à l'aide des graphiques des valeurs résiduelles. A l'aide du modèle final et de l'optimisation des réponses de Minitab, vous pouvez trouver les paramètres optimaux pour vos variables. Dans ce cas, vous pouvez définir la tension sur 7,74 volts et la densité de courant sur 836 A/m2 pour obtenir une valeur de rugosité de 39,4.

Le plan de surface de réponse produit l'équation de transfert suivante pour la simulation de Monte-Carlo :

Rugosité = 957,8 − 189,4 (Vcc) − 4,81 (A/m2) + 12,26 (Vcc2) + 0,0309 (A/m2)

Etape 2 : Définir les paramètres d'entrée

Vous pouvez maintenant déterminer les définitions paramétriques pour vos entrées de simulation de Monte-Carlo. (Les écarts types doivent être connus ou estimés en fonction des connaissances existantes sur le procédé.) Les volts sont normalement distribués avec une moyenne de 7,74 Vcc et un écart type de 0,14 Vcc. Les ampères par mètre carré (A/m2) sont normalement distribués avec une moyenne de 836 A/m2 et un écart type de 32 A/m2.

Etape 3 : Créer des données aléatoires

Une fois les paramètres définis, il est on ne peut plus simple de créer 100 000 lignes de données simulées pour nos deux entrées à l'aide de la boîte de dialogue Calc > Données aléatoires > Normale de Minitab.

Etape 4 : Simuler et analyser les résultats du procédé

Vous pouvez maintenant utiliser la calculatrice pour entrer votre formule. Sélectionnez ensuite le sous-menu Stat > Statistiques élémentaires > Récapitulatif graphique.

Monte-Carlo - Récapitulatif pour Rq

Le récapitulatif indique que même si les entrées sous-jacentes étaient normalement distribuées, la distribution de la rugosité Rq est non normale. Le récapitulatif indique également que la variation transmise de tous les composants donne lieu à un écart type de 0,521, et au vu des connaissances du procédé, il s'agit d'un bon procédé. Sur la base d'un DOE avec seulement 13 essais, nous pouvons déterminer la réalité de ce qui apparaîtra dans le procédé.

Où pouvez-vous appliquer la simulation de Monte-Carlo ?

La méthode de Monte-Carlo a évolué depuis qu'elle a révolutionné la recherche nucléaire dans les années 1940. Aujourd'hui, utiliser des données simulées pour développer une image paramétrique fiable des résultats d'un procédé est un outil vital dans les domaines tels que la finance, la fabrication, l'extraction du pétrole et du gaz et la pharmacie, entre autres.

Dans presque toutes les situations où vous pouvez définir un modèle mathématique, la capacité de Minitab à créer des données simulées aléatoires vous permet d'exploiter facilement la puissance de la simulation de Monte-Carlo.

Cet article est inspiré d'une présentation de Paul Sheehy, spécialiste de la formation technique chez Minitab, lors de la conférence ASQ Lean Six Sigma Conference en février 2012.

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