Comment est calculée la statistique Anderson Darling ajustée ?

La statistique d’Anderson-Darling mesure l'ajustement des données à une distribution particulière.

Plus les données seront en adéquation avec la distribution, plus cette statistique sera faible.

Utilisez la valeur de p correspondante (si celle-ci est disponible) pour vérifier si les données sont en adéquation avec la distribution choisie.

Si la valeur de p est inférieure à un alpha choisi (par exemple 0,05), rejetez l’hypothèse nulle selon laquelle les données sont en adéquation avec cette distribution.

Si vous souhaitez déterminer la distribution des données et si vous avez plusieurs statistiques d’Anderson-Darling, vous pouvez en général les comparer.

Minitab calcule la statistique d’Anderson-Darling à l’aide de la distance quadratique pondérée entre la droite d’ajustement du diagramme de probabilité (basé sur la distribution choisie et utilisant des estimations de maximum de vraisemblance ou la méthode des moindres carrés) et la fonction en escalier non paramétrique.

Le calcul prend en compte les extrémités de la distribution en leur donnant plus de poids.

Certaines commandes génèrent une statistique d'Anderson‐Darling ajustée : le diagramme d’identification de répartition et les analyses de fiabilité‐survie. Les statistiques d'Anderson‐Darling ajustées, équivalentes pour ces deux cas, sont écrites respectivement “Anderson Darling (aj)” et “Anderson‐Darling (AD*) dans les sorties.

Minitab utilise une statistique ajustée lorsque les valeurs de p ne peuvent pas être calculées pour les données censurées. Contrairement à la statistique Anderson‐Darling usuelle, la statistique ajustée est généralisée pour prendre en compte les différentes méthodes spécifiques qui peuvent être employées pour créer le diagramme de probabilité.

La statistique d'Anderson‐Darling non ajustée utilise la fonction en escalier non paramétrique basée sur la méthode de Kaplan‐Meier de calcul des points de diagramme, tandis que la statistique d'Anderson‐Darling ajustée utilise d'autres modes de calcul des points de diagramme pour les données censurées à droite ou non censurées, soit :

  • La méthode du rang de la médiane par défaut (méthode benard).
  • La méthode modifiée de Kaplan‐Meier.
  • La méthode Herd‐Johnson.
  • Si des moments de défaillance ex‐aequo (identiques) apparaissent dans les données, Minitab affichera soit tous les points par défaut, soit la médiane ou le maximum des points identiques. Si l’équivalence des durées concerne des défaillances et des durées censurées, le logiciel considère que les durées censurées interviennent après les défaillances.

    Le tableau ci‐dessous indique les différences de calcul des points du diagramme entre les méthodes. Pour un échantillon de n observations, supposons que x(1), x(2),...,x(n) sont les indices d’ordre, ou que les données sont rangées de la plus petite à la plus grande valeur. Admettons alors que i est le rang de la ième observation rangée x(i). La probabilité de chaque méthode est calculée comme suit :

     

    Remarque :

    Si la plus grande observation n’est pas censurée, la méthode Kaplan‐Meier donne pn=1 pour la plus grande observation non censurée. Dans ce cas, l’estimation de la méthode Kaplan‐Meier ne peut pas être utilisée dans le diagramme. Ce problème est rectifié en calculant de nouveau p, en tant que 90% de la distance entre le p antérieur et 1.

    Pour les données censurées arbitraires, Minitab estime les probabilités à l’aide de la méthode Turnbull. Pour toute information complémentaire, consultez la méthode Turnbull (1976).

    A l’aide des points du diagramme et de la transformation de D'Agostino and Stephens (1986), Minitab calcule la statistique Anderson‐Darling ajustée comme suit :

     

    La statistique Anderson‐Darling ajustée est une mesure relative de l’adéquation de l’ajustement. Lorsque sont comparées les adéquations d’ajustement de multiples distributions pour un seul jeu de données, et uniquement dans ce cas, la distribution avec la statistique Anderson‐Darling la plus petite offre le meilleur ajustement.

    Remarque :

    La statistique Anderson‐Darling générée a l’aide du sous‐menu Graphique > Diagramme de loi de probabilité ou Stat > Outils de la qualité > Identification de loi individuelle n’est pas ajustée.

    Références :
  • R.B. D'Agostino and M.A. Stephens (1986). Goodness‐of‐Fit Techniques. Marcel Dekker, Inc.
  • B.W. Turnbull (1976). "The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data," Journal of the Royal Statistical Society, 38, 290‐295.
    • Minitab News

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