ARIMA : Comment analyser des données de série chronologique différemment ?

Pour obtenir les bonnes informations à partir des données de série chronologique, il faut des compétences et de l'expérience, et peut-être aussi de l'inspiration et de l'intuition. Cet article aborde l'analyse des données de série chronologique à l'aide d'outils plus sophistiqués que proposent rarement les programmes basiques de formation aux statistiques.  

Par Michel Thirion et Robert Collis, spécialiste de la formation technique Minitab

Thirion et CollisThirion et Collis

Michel Thirion, Master Black Belt chez Honeywell, et Robert Collis, spécialiste de la formation technique Minitab

Les données de série chronologique abondent dans les secteurs de la fabrication et des services. En voici quelques exemples :

  • Le nombre de jours qu'un client attend pour recevoir une réponse à une demande de prêt immobilier
  • Le délai pour être mis en contact téléphonique avec le personnel d'une banque
  • La durée d'une conversation entre les opérateurs d'un centre de support technique et les clients
  • Les ventes de moteurs d'hélicoptères dans le temps
  • Le temps nécessaire aux employés d'une entreprise pharmaceutique pour remplir des documents clés

L'analyse de ces données semble plutôt simple au premier abord, mais est-ce vraiment le cas ?

Analyser des données comme si vous suiviez une recette de cuisine n'est jamais suffisant. Pour obtenir les bonnes informations à partir des données, il faut certainement des compétences et de l'expérience. Néanmoins, pour contrôler correctement n'importe quel procédé et prendre les actions correctives appropriées, il faut également de l'inspiration et de l'intuition.

Grâce à mon expérience en matière de formation Honeywell Master Black Belt et de sessions conseil en statistiques fournies par Minitab, je suis capable d'analyser des données de série chronologique à l'aide d'outils moins connus et plus sophistiqués qui sont souvent laissés de côté dans les programmes basiques de formation aux statistiques. L'objectif de cet article est de vous expliquer comment appliquer quelques-unes de ces techniques dans Minitab Statistical Software.

Etapes initiales de l'analyse des données de série chronologique

Lorsque vous analysez des données de série chronologique, la première étape consiste souvent à créer des cartes de contrôle statistique. Par exemple, nous pouvons créer une carte d'essais en sélectionnant Stat > Outils de la qualité > Carte d'essais et en remplissant la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 1

Après avoir cliqué sur OK, Minitab génère la carte suivante :

Article ARIMA - Image 2

La tendance à la hausse visible est confirmée par la très faible valeur de p pour les tendances. A l'endroit où la ligne rouge croise la médiane, la densité est aussi plus importante que ce à quoi on pourrait s'attendre si les données étaient aléatoires.

Certains utilisateurs peu expérimentés pourraient essayer de créer une carte I-EM en sélectionnant Stat > Cartes de contrôle > Cartes de variables pour individus > I-EM et en remplissant la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 3

Cliquez sur OK pour générer le résultat suivant :

Article ARIMA - Image 4

A première vue, il semble que nous ayons des points hors des limites de contrôle au début et à la fin de la carte I-EM, avec une stabilité relative au milieu. Nous pouvons en déduire que ce procédé comporte trois parties ou phases : des valeurs plutôt faibles au début, une période médiane stable et des valeurs plutôt élevées vers la fin.

Toutefois, les hypothèses standard doivent être respectées afin de justifier l'utilisation de cartes de contrôle comme celle-ci. Plus spécifiquement, les données doivent être distribuées normalement et de façon indépendante, avec une moyenne μ et un écart type σ1.

Les limites de contrôle sur la carte I sont basées sur la moyenne de l'étendue mobile : la différence absolue entre chaque paire de points consécutive. Si les points ne sont pas indépendants, nous nous trouvons dans une situation appelée « autocorrélation », dans laquelle il y a peu de différence entre chaque paire de points consécutive. Cela signifie que l'étendue mobile sera artificiellement faible, ce qui se manifestera par une augmentation du taux de fausses alertes sur la carte I.

Comment savoir si vos données sont autocorrélées ?

Il est clair qu'utiliser une carte I-EM avec des données autocorrélées peut poser problème. Il serait donc utile de savoir si les données sont autocorrélées. Heureusement, l'Assistant de Minitab Statistical Software va vérifier cela pour nous, sans même que nous ayons à utiliser les options sophistiquées et avancées du logiciel.

Si nous sélectionnons Assistant > Cartes de contrôle > Carte I-EM et que nous remplissons la boîte de dialogue de la manière suivante, l'Assistant va générer une alerte :

Article ARIMA - Image 5

L'Assistant nous avertit aussi de l'autocorrélation et de ses conséquences :

Article ARIMA - Image 6

Nous aurions dû utiliser l'Assistant en premier lieu pour créer la carte I-EM. Sans cet outil, de nombreux utilisateurs risqueraient de tirer de mauvaises conclusions.

Gestion de l'autocorrélation dans Minitab

Est-ce que l'autocorrélation nous empêche d'utiliser ces données ?  Non, il suffit juste de continuer avec des outils plus sophistiqués.

Pour comprendre les corrélations entre des données à différents moments dans le temps, décalés d'une ou plusieurs périodes, nous pouvons réaliser une analyse d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle. Cela permet de savoir s'il existe des corrélations entre les données au temps t et aux temps t1, t2 à tk.

Nous allons sélectionner Stat > Série chronologique > Autocorrélation et remplir la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 7

Après que nous avons cliqué sur OK, Minitab fournit le résultat suivant :

Article ARIMA - Image 8

La fonction d'autocorrélation partielle peut être obtenue de façon similaire en sélectionnant :

Stat > Série chronologique > Autocorrélation partielle  

Minitab fournit les résultats suivants :

Article ARIMA - Image 9

Les lignes verticales qui s'étendent au-delà des lignes horizontales en pointillés rouges indiquent une forte corrélation entre des points décalés d'une ou de deux périodes dans le temps. Nous pouvons à présent éliminer l'autocorrélation en traçant chaque troisième point de données sur une carte I-EM. Vous devez choisir Stat > Cartes de contrôle > Cartes de variables pour individus > I-EM et remplir la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 10

Pour sélectionner seulement chaque troisième valeur, cliquons sur Options des données... et remplissons la sous-boîte de dialogue de la manière suivante avant de cliquer sur OK dans chaque boîte de dialogue :

Article ARIMA - Image 11

Minitab crée la carte suivante :

Article ARIMA - Image 12

Le procédé semble être maîtrisé et les hypothèses sous-jacentes ont été vérifiées. Cependant, nous avons laissé de côté deux tiers des données. Etant donné le faible nombre de valeurs dans la colonne de série chronologique, nous aurions aussi pu regrouper les données dans des sous-groupes relativement grands pour terminer avec relativement peu de points sur la carte X barre. Aucune de ces options n'est idéale.

La meilleure solution consiste à utiliser la modélisation de série chronologique, en particulier l'approche ARIMA (méthode autorégressive à moyenne mobile intégrée). Cette approche n'est pas très connue dans les milieux de l'industrie et des affaires, mais elle s'applique assez facilement, à condition de maîtriser quelques étapes de base. Toutefois, l'intuition peut s'avérer nécessaire pour parvenir à la meilleure solution. C'est à ce moment-là que la personne qui effectue l'analyse doit éventuellement faire appel à son côté artistique et un peu moins à son côté scientifique !

Création d'un modèle ARIMA

La modélisation ARIMA utilise de façon très simple des données récentes ou plus anciennes afin de modéliser les données existantes et de réaliser des prévisions adéquates concernant un comportement futur.  L'objectif est d'identifier un modèle sous-jacent qui explique le changement dans le procédé. Tout point qui s'éloigne de ce comportement prévu pourrait être considéré comme une cause spéciale, puisqu'il ne suit pas les mouvements généraux dans les données.

Pour créer un modèle ARIMA, les données doivent être stationnaires, c'est-à-dire que le procédé ne doit présenter aucune tendance, ni à la hausse, ni à la baisse. En d'autres termes, il faut atteindre une certaine stabilité dans la moyenne du procédé. Nos données d'origine n'étaient pas stationnaires : il semblait y avoir une tendance à la hausse au fil du temps. Nous pouvons rendre ces données stationnaires à l'aide de l'outil Différence

dans Minitab (Stat > Série chronologique > Différence).

Nous remplissons la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 13

Lorsque nous cliquons sur OK, Minitab génère une colonne contenant les différences spécifiées. Si les données au temps t sont désignées par Xt et les données à la période précédant t sont désignées par Xt-1, la différence est Xt -Xt-1.

Nous pouvons à présent tracer des différences sur le graphique en sélectionnant Graphique > Diagramme de série chronologique > Simple et en remplissant la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 14

Cliquons sur OK pour générer le graphique suivant :

Article ARIMA - Image 15

Les données auxquelles nous avons appliqué une différence d'ordre 1 semblent être devenues stationnaires, sans tendance marquée à la hausse ou à la baisse. Cela signifie que nous pouvons utiliser ces données pour établir un modèle ARIMA.

Tout d'abord, nous allons effectuer une analyse d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle sur les données différenciées. Minitab nous donne les résultats suivants :

Article ARIMA - Image 16.2
Article ARIMA - Image 17

Nous devons à présent comprendre la signification des modèles dans les fonctions d'autocorrélation et d'autocorrélation partielle. Voici un texte que j'ai trouvé utile : Forecasting, Methods and Applications par Makridakis, Wheelwright et Hyndman (John Wiley and Sons, troisième édition, 1998).

Nous avons une fonction d'autocorrélation avec un schéma sinusoïdal (onde sinusoïdale) et des pics pour les décalages 1 à 3, ce qui suggère un modèle autorégressif d'ordre 3, ou AR(3). Le comportement sinusoïdal sur la fonction d'autocorrélation partielle et les pics jusqu'au décalage 3 suggèrent un modèle de moyenne mobile d'ordre 3, ou MA(3).  La modélisation de série chronologique peut se révéler un procédé itératif, voire hasardeux. Cependant, ces graphiques suggèrent que le modèle ARIMA (3, 1, 3) est un bon point de départ.

Chaque partie du modèle ARIMA joue un rôle dans les prévisions obtenues à partir de celui-ci. La partie autorégressive du modèle prévoit la valeur au temps t en prenant en compte les valeurs précédentes de la série aux temps t1, t2, etc. La moyenne mobile utilise les valeurs résiduelles anciennes : les différences entre la valeur réelle et la valeur prévue en se basant sur le modèle au temps t.

Nous pouvons évaluer l'ajustement du modèle ARIMA (3, 1, 3) à nos données en sélectionnant Stat > Série chronologique > ARIMA et en remplissant la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 18

Minitab génère ce résultat :

Article ARIMA - Image 19

Les valeurs de p sont seulement significatives au niveau des 10 % pour le coefficient de premier ordre de la partie autorégressive du modèle et le coefficient de troisième ordre de la partie moyenne mobile du modèle. En outre, la statistique du Khi deux Ljung-Box, qui teste le caractère aléatoire global du modèle, suggère qu'il peut y avoir un effet saisonnier d'ordre 1, au moins.

Par conséquent, nous allons essayer de comprendre ces données de façon plus approfondie en créant un modèle ARIMA (1, 1, 3) (1, 0, 0)12 .  Cette notation n'est pas aussi compliquée qu'elle le paraît. Le premier ensemble de parenthèses nous indique que les parties autorégressive (AR) et intégrée (I) du modèle seront basées sur des décalages 1, alors que la moyenne mobile (MA) sera basée sur le décalage 3. Le deuxième ensemble de parenthèses indique l'effet saisonnier, qui, nous supposons, suit un cycle de 12 mois, autrement dit, annuel, autour d'AR(1).

Faisons un essai. Le raccourci pratique de MinitabCTRL+Epermet d'ouvrir la dernière boîte de dialogue utilisée. Nous pouvons à présent construire le modèle ARIMA affiné en remplissant la boîte de dialogue comme suit :

Article ARIMA - Image 20a

Avant de cliquer sur OK, cliquez sur Stockage, puis sélectionnez Valeurs résiduelles et Valeurs ajustées :

Article ARIMA - Image 20b

Après que vous avez cliqué sur OK dans les deux boîtes de dialogue, Minitab génère les résultats suivants :

Article ARIMA - Image 20c

Le coefficient autorégressif de premier ordre, le coefficient saisonnier et le coefficient de moyenne mobile de troisième ordre sont tous significatifs au niveau d'alpha de 10 %, ce qui indique que le modèle pourrait être efficace. La somme des carrés qui mesure la somme des différences quadratiques entre chaque point de données d'origine et sa valeur estimée à l'aide de ce modèle ARIMA est assez faible. De plus, la statistique du Khi deux Ljung-Box ne met en évidence aucune corrélation entre les points avec une différence de 12 ou 24 décalages ; même le coefficient saisonnier les a exclus.

Nous voudrions à présent évaluer l'ajustement du modèle aux valeurs d'origine et consulter ses prévisions concernant ce procédé à l'avenir. Pour voir cet ajustement, nous allons sélectionner Graphique > Série chronologique > Multiple et remplir la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 20

Minitab génère ce graphique :

Article ARIMA - Image 21

Nous voyons que les valeurs ajustés (en rouge) sont très proches des valeurs des données d'origine dans le temps.

Pour visualiser les valeurs prévues, sélectionnons Stat > Série chronologique > ARIMA, puis cliquons sur Graphiques et remplissons la boîte de dialogue de la manière suivante avant de cliquer sur OK :

Article ARIMA - Image 22

Sélectionnons Prévisions, puis remplissons la boîte de dialogue de la manière suivante avant de cliquer sur OK dans chaque boîte de dialogue :

Article ARIMA - Image 23

Minitab génère ce graphique de prévisions :

ARIMA Article Images 24

Le comportement prévu de ce procédé paraît sensé au vu des anciennes données. Avec plus de données, l'intervalle de confiance de 95 % pourrait être réduit davantage.

Il est crucial pour ARIMA, comme dans la régression ou la modélisation ANOVA, d'examiner le comportement des valeurs résiduelles pour voir si elles sont normales, aléatoires ou si elles ont une variation constante.

Dans ce cas-là, les valeurs résiduelles représentent les différences entre la valeur observée au temps t et la valeur prévue en se basant sur le modèle ARIMA. Ces différences peuvent être négatives ou positives, et parfois nulles lorsque l'ajustement est parfait.

Article ARIMA - Image 25

Les hypothèses sont assez bien satisfaites, sauf qu'il existe des variations non constantes sur la représentation graphique en fonction des valeurs ajustées. Cela s'explique par le fait que le modèle est mieux ajusté pour les anciens points de données que pour les plus récents.

Ces valeurs résiduelles n'ont pas d'autocorrélation. Il serait alors intéressant de les représenter graphiquement sur une carte I-EM à l'aide de l'Assistant pour déterminer quels points s'écartent du comportement prévu ; en d'autres termes, quels points ne suivent pas le modèle.

Nous allons sélectionner Assistant > Cartes de contrôle > Carte I-EM et remplir la boîte de dialogue de la manière suivante :

Article ARIMA - Image 26

Minitab fournit les résultats suivants :

Article ARIMA - Image 27

Le point de données 26 était en dehors des limites de contrôle. Cela pourrait s'expliquer par un grand changement inattendu entre les points 25 et 26.  Le modèle ARIMA suggère que ce procédé peut évoluer, mais notre compréhension actuelle de la série chronologique indique une seule cause spéciale pour ce changement-là.

Imaginons que vous essayez de comprendre les mouvements dans la valeur d'une action en particulier et que la tendance récente est à la baisse car l'entreprise doit faire face à une concurrence acharnée. Vous pourriez modéliser ce phénomène avec ARIMA. Si le PDG de l'entreprise, plutôt mal vu à Wall Street, annonce qu'il va quitter son poste dans un an, cela pourrait faire grimper la valeur de l'action au-delà des résultats attendus pour ce jour-là d'après le modèle sous-jacent actuel. Cela se verrait dans les valeurs résiduelles et constitueraient clairement une cause spéciale.

Que représente vraiment le modèle ARIMA ?

La discussion à suivre va beaucoup intéresser les utilisateurs plus avancés, étant donné que certaines des dérivations sont assez complexes.

La valeur prévue de la réponse au temps t dépend des anciennes valeurs de la série, mais également des anciennes valeurs résiduelles.

Tout d'abord, il est utile de comprendre la notation de base, particulièrement la notation retard qui est couramment utilisée dans les analyses de série chronologique.

  • Yt est la valeur de données au temps t
  • Ythat est la valeur prévue au temps t en fonction du modèle
  • et est la valeur résiduelle au temps t qui représente la différence Yt -Ythat
  • L'opérateur retard, B, est couramment utilisé.
  • BYt=Yt-1
  • B(BYt)=B2Yt=Yt-2

Comment le modèle ARIMA (1, 1, 3)(1, 0, 0)12 est-il conçu ?

Le modèle a deux facettes : l'autorégression (AR) et la moyenne mobile (MA). De plus, une différentiation d'ordre 1 doit être incluse (Yt-Yt-1).

Composants autorégressifs

Commençons par le côté autorégressif de l'équation, qui dépend des anciennes valeurs de la série. Cette partie du modèle se compose de trois éléments :

Terme autorégressif d'ordre 1 : (1-φ1B)Yt=Yt-φ1Yt-1

AR(1) saisonnier : (1-θB12)Yt=Yt-θYt-12

Différence non saisonnière : (1-B)Yt=Yt-Yt-1

Le terme autorégressif d'ordre 1, l'AR(1) saisonnier et la différence non saisonnière sont multipliés, puis examinés.

(1-φ1B) (1-θB12) (1-B)Yt = (1-φ1B-θB12+φ1B-θB13)(1-B)Yt =
(1-B)Yt - φ1B(1-B)Yt -θB12(1-B)Yt +φ1θB13(1-B)Yt=Yt-Yt-1-φ1(Yt-1-Yt-2)-θ(Yt-12-Yt-13)+φ1θYt-13-Yt-14)

Il est intéressant de remarquer que le modèle contient à la fois des valeurs de données récentes Yt-1, Yt-2 et d'autres beaucoup plus anciennes comme Yt-13 et Yt-14.

Composants de la moyenne mobile

La partie moyenne mobile de l'équation est beaucoup plus simple à créer. Elle repose sur les valeurs résiduelles des périodes précédentes par rapport au temps t, le temps pour lequel nous voulons obtenir une prévision à l'aide du modèle. Cette « moyenne mobile » ne doit pas être confondue avec sa définition classique. Traditionnellement, une moyenne mobile d'ordre 3 consiste à prendre la moyenne de chaque ensemble de 3 points de données consécutifs et à reporter ces moyennes sur une carte, mais ce n'est pas du tout ce que nous faisons.

La partie moyenne mobile de ce modèle est :

(1-ψ1B-ψ2B2-ψ3B3)et =
et-ψ1et-1-ψ22et-2-ψ3et-3

La facette autorégressive de l'équation et la facette moyenne mobile coïncident, ajoutant le terme constant sur le côté droit, et voici ce qui en résulte :

Yt-Yt-1-φ1(Yt-1-Yt-2)-φ1θ(Yt-12-Yt-13)+φ1θ(Yt-13-Yt-14)=β+ etψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3

Voici le résultat lorsque nous mettons Yt sur le côté gauche de l'équation et tous les autres termes sur la droite, exprimé comme la valeur prévue à t :

Yt= β+Yt-1 +φ1(Yt-1-Yt-2) +θ(Yt-12-Yt-13) +φ1θ(Yt-13-Yt-14)-ψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3+ et

Nous sommes capables d'obtenir la valeur prévue au temps t de la même manière qu'avec un modèle de régression classique, c'est-à-dire,
si Yt= model+ et, alors Yhatt = model
Donc, Yhatt = β+Yt-1 +φ1(Yt-1-Yt-2) +θ(Yt-12-Yt-13)-φ1θ(Yt-13-Yt-14)-ψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3

Yhatt  = 0,00066 + Yt-1 + 0,4139(Yt-1-Yt-2) + 0,9817(Yt-12-Yt-13) – 0,4139*0,9817(Yt-13-Yt-14) – (-0,1549)*et-1 - 0,1507*et-2 - 0,8431*et-3

La valeur prévue à la 16e période est exprimée comme ceci :

Yhat16 = 0,00066 + Y15 + 0,4139(Y15 – Y14) + 0,9817(Y4 – Y3) – 0,4139*0,9817(Y3 – Y2) – (-0,1549)*e15 - 0,1507*e14 - 0,8431*e13

Nous allons démontrer de quelle façon cette équation peut être utilisée.

Le tableau ci-dessous indique les données d'origine pour les périodes t=-4 à t=+11, où t=1 est la première période pour laquelle nous disposons de données. Les données d'origine pour les périodes t=1 à t=11 se trouvent dans les cellules B8 à B17.

Article ARIMA - Image 39

La première étape du processus d'analyse se déroule en arrière-plan dans Minitab lorsque le modèle ARIMA est ajusté pour calculer Y0, Y-1,Y-2, etc., créant d'une certaine façon les valeurs de données prévues antérieures à t=1.

Il ne semble pas aisé de calculer Y0 étant donné qu'il s'agit de la période précédant l'étude. Des prévisions rétrospectives sont effectuées et disponibles dans la fenêtre Session :

Article ARIMA - Image 40

La prévision rétrospective pour le temps 0 est 1,623. Donc Y1-Y0=1,623 et Y0=59,7-1,6=58,1 (ce qui correspond à la cellule B6 comme prévu). Le même procédé peut être appliqué pour Y-1,Y-2, etc., en remontant dans la colonne B de la feuille de calcul ci-dessus. Y0-Y-1=-2,121 Y-1=Y0+2,121=58,1+2,1=60,2 (ce qui correspond à la cellule B5).

L'équation finale pour la dixième période est :

Yhatt = 0,00066 + Yt-1 + 0,4139(Yt-1 – Yt-2) + 0,9817(Yt-12 – Yt-13) – 0,4139*0,9817(Yt-13 – Yt-14) – (-0,1549)*et-1 - 0,1507*et-2 - 0,8431*et-3

Yhat10 = 0,00066 + Y9 + 0,4139(Y9 – Y8) + 0,9817(Y-2 – Y-3) – 0,4139*0,9817(Y-3 – Y-4) – (-0,1549)*e9 - 0,1507*e8 - 0,8431*e7

Y9 est la cellule B15 dans le tableau ci-dessus = 63,6
Y8 est la cellule B14 = 61,9
Y-2 est la cellule B4 = 60,444
Y-3 est la cellule B3 = 60,535
Y-4 est la cellule B2 = 58,809
e9 est la cellule D15 = -0,000376466
e8 est la cellule D14 = 0,012395082
e7 est la cellule D13 = 0,039578177

Yhat10=0,00066+63,6+0,4139(63,6-61,9)+0,9817(60,44-60,535)-[(0,4139)(0,9817)(60,52-58,81)]-[(-0,1549)*(-0,000376466)]-[(0,15070)(0,012395082)]-[0,8431(0,039578177)]=63,44.

Ceci est égal à E16.

Il est possible de procéder de la même façon pour trouver les valeurs prévues de n'importe quelle période en se basant sur ce modèle.

Conclusions

La plupart des professionnels analysent les séries chronologiques ou les données de procédé de façon relativement simpliste. Ils se fient principalement à des cartes d'essais ou de simples cartes de contrôle de Shewhart, telles que les cartes I-EM, X barre-R ou X barre-S.

Pourtant, toute corrélation dans les données risque d'accroître le taux de fausses alertes. Il peut s'avérer opportun d'essayer de modéliser les données à l'aide d'une technique de modélisation de série chronologique sophistiquée telle qu'ARIMA. Utilisée correctement, l'approche ARIMA peut fournir un très bon ajustement aux données existantes et offrir d'excellentes prévisions de comportement futur, ce qui est important dans un monde incertain. Toutefois, les techniques ARIMA sont assez complexes et pas aussi connues ou aussi bien assimilées que les analyses plus basiques. Pourtant, une fois les principes de base assimilés, il est relativement aisé de créer des modèles de série chronologique efficaces avec Minitab. En outre, une fois le modèle ARIMA créé, il convient d'évaluer les valeurs résiduelles pour identifier d'éventuelles causes spéciales.

 

1 Montgomery, Douglas (2005). Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley and Sons, 5e édition. Page 438.

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