simulaciones Monte Carlo en Minitab Statistical Software

Realizar simulaciones Monte Carlo en Minitab Statistical Software es muy fácil. Este artículo explica cómo usar Minitab para simulaciones Monte Carlo utilizando una fórmula de ingeniería conocida y una ecuación DOE.

por Paul Sheehy y Eston Martz

La simulación Monte Carlo utiliza muestras aleatorias repetidas para simular datos para un determinado modelo matemático y evaluar los resultados.  Este método se aplicó inicialmente en la década de 1940, cuando los científicos que trabajaban en la creación de la bomba atómica lo utilizaron para calcular las probabilidades de que la fisión de un átomo de uranio provocara una reacción de fisión en otro. Debido a la escasez de uranio, no convenía aplicar el método experimental de ensayo y error. Los científicos descubrieron que, siempre y cuando crearan suficientes datos simulados, podrían calcular probabilidades fiables — y reducir la cantidad de uranio necesario para las pruebas.

En la actualidad, los datos simulados se utilizan rutinariamente en condiciones en las que los recursos son limitados o cuando la recolección de datos reales sería demasiado costosa o poco práctica. Con la capacidad de Minitab para crear datos aleatorios fácilmente, usted puede usar la simulación Monte Carlo para:

  • Simular el rango de posibles resultados para ayudar en la toma de decisiones
  • Pronosticar resultados financieros o estimar los plazos de los proyectos
  • Comprender la variabilidad en un proceso o sistema
  • Detectar problemas dentro de un proceso o sistema
  • Manejar el riesgo basándose en su comprensión de las relaciones costo-beneficio

Pasos del enfoque Monte Carlo

Dependiendo del número de factores que intervienen, las simulaciones pueden ser muy complejas. Sin embargo, a un nivel básico, todas las simulaciones Monte Carlo incluyen cuatro pasos sencillos:

1. Identificar la ecuación de transferencia

Para realizar una simulación Monte Carlo, necesita un modelo cuantitativo de la actividad, plan o proceso empresarial que desea explorar. La expresión matemática de su proceso se denomina “ecuación de transferencia”. Puede ser una fórmula conocida de ingeniería o de negocios o puede estar basada en un modelo creado a partir de un experimento diseñado (DOE) o análisis de regresión.

2. Definir los parámetros de entrada

Para cada factor de la ecuación de transferencia, determine cómo se distribuyen sus datos. Algunas entradas pueden seguir la distribución normal, mientras que otras siguen una distribución triangular o uniforme. Posteriormente debe determinar los parámetros de distribución para cada entrada.  Por ejemplo, debe especificar la media y la desviación estándar para las entradas que siguen una distribución normal.

3. Crear datos aleatorios

Para realizar una simulación válida, debe crear un conjunto muy grande de datos aleatorios para cada entrada: una cantidad por el orden de los 100,000 casos. Estos puntos de datos aleatorios simulan los valores que se observarían durante un período prolongado para cada entrada. Minitab puede crear fácilmente datos aleatorios que siguen casi cualquier distribución posible.

4. Simular y analizar la salida del proceso

Con los datos simulados, puede utilizar su ecuación de transferencia para calcular los resultados simulados. Realizando corridas con una cantidad suficientemente grande de datos simulados de entrada a través de su modelo, obtendrá una indicación fiable de lo que el proceso generará con el tiempo, dada la variación esperada en las entradas.

Esos son los pasos que debe seguir cualquier simulación Monte Carlo.  A continuación se explica cómo aplicarlos en Minitab.

Monte Carlo utilizando una fórmula de ingeniería conocida

Una empresa de manufactura necesita evaluar el diseño de un producto propuesto: una bomba de pistón pequeña que debe bombear 12 ml de fluido por minuto. Usted desea estimar el rendimiento probable de miles de bombas, dados los siguiente parámetros: variación natural del diámetro del pistón (D), longitud de la carrera (L) y carreras por minuto (RPM). Lo ideal es que la desviación estándar del caudal de la bomba en miles de bombas no sea mayor de 0.2 ml.

Paso 1: Identificar la ecuación de transferencia

El primer paso para realizar una simulación Monte Carlo es determinar la ecuación de transferencia. En este caso, simplemente puede utilizar una fórmula de ingeniería establecida que mida el caudal de la bomba: 

Caudal (en ml) =  π(D/2)2 ∗ L ∗ RPM

Paso 2: Definir los parámetros de entrada

Ahora debe definir la distribución y los parámetros de cada entrada utilizada en la ecuación de transferencia. Usted conoce el diámetro del pistón de la bomba y la longitud de la carrera, pero debe calcular las carreras por minuto (RPM) necesarias para alcanzar el caudal deseado de 12 ml/minuto. El volumen bombeado por carrera se obtiene con esta ecuación: 

π(D/2)2 * L

Dado que D = 0.8 y L = 2.5, cada carrera desplaza 1.256 ml.  Entonces, para alcanzar un caudal de 12 ml/minute, el valor de RPM es de 9.549.

Basándose en el rendimiento de otras bombas que ha manufacturado su empresa, usted puede decir que el diámetro del pistón se distribuye normalmente con una media de 0.8 cm y una desviación estándar de 0.003 cm. La longitud de la carrera se distribuye normalmente con una media de 2.5 cm y una desviación estándar de 0.15 cm. Por último, las carreras por minuto se distribuyen normalmente con una media de 9.549 RPM y una desviación estándar de 0.17 RPM.

Paso 3: Crear datos aleatorios

Ahora está preparado para configurar la simulación en Minitab.  Con Minitab, usted puede crear instantáneamente 100,000 filas de datos simulados.  Comenzando con los datos simulados de diámetro del pistón, elija Calc > Datos aleatorios > Normal.  En el cuadro de diálogo, ingrese 100,000 en Número de filas de datos que se generarán e ingrese “D” como la columna en la que se deben almacenar los datos. Ingrese la media y la desviación estándar del diámetro del pistón en los campos correspondientes.  Presione Aceptar para llenar la hoja de cálculo con 100,000 puntos de datos tomados de forma aleatoria de la distribución normal especificada.

Monte Carlo - Crear datos aleatorios 
 
Después, simplemente repita el proceso para Longitud de la carrera (L) y Carreras por minuto (RPM).

Paso 4: Simular y analizar la salida del proceso

Ahora cree una cuarta columna en la hoja de trabajo, Caudal, para almacenar los resultados de los cálculos de salida del proceso. Con los datos de entrada generados de forma aleatoria, usted puede configurar la calculadora de Minitab para que calcule la salida y los almacene en la columna Caudal.  Vaya a Calc > Calculadora y configure la ecuación de caudal de la siguiente manera:

Monte Carlo - Ingresar ecuación de transferencia

Minitab calculará rápidamente la salida para cada fila de datos simulados.

Ahora está preparado para examinar los resultados.  Seleccione Estadísticas > Estadísticas básicas > Resumen gráfico y elija la columna Caudal.  Minitab generará un resumen gráfico que incluye cuatro gráficas: un histograma de datos con una curva normal sobrepuesta, una gráfica de cajas y los intervalos de confianza de la media y la mediana. El resumen gráfico también muestra los resultados de la prueba de normalidad de Anderson-Darling, los estadísticos descriptivos y los intervalos de confianza de la media, la mediana y la desviación estándar.

Monte Carlo - Crear resumen gráfico 
 
El resumen gráfico de la salida de su simulación Monte Carlo se verá de esta manera: 

Monte Carlo - Resumen para caudal 
 
En el caso de los datos aleatorios generados para escribir este artículo, el caudal medio es de 12.004 sobre la base de 100,000 muestras. En promedio, estamos dentro del objetivo, pero el valor más pequeño fue de 8.882 y el más grande fue de 15.594. Es un rango demasiado amplio.  La variación transmitida (de todos los componentes) produce una desviación estándar de 0.757 ml, superando ampliamente el objetivo de 0.2 ml.  Además, vemos que el objetivo de 0.2 ml está fuera del intervalo de confianza de la desviación estándar.

Al parecer, este diseño de bomba exhibe demasiada variación y se debe perfeccionar antes de incorporarlo a la fase de producción; la simulación Monte Carlo con Minitab nos permite determinar eso sin incurrir en los gastos de manufactura y prueba de miles de prototipos.

En caso de que se pregunte si estos resultados simulados son consistentes,¡ compruébelo usted mismo! Si crea distintos conjuntos de datos aleatorios simulados, observará pequeñas variaciones, pero el resultado final, una cantidad inaceptable de variación en el caudal, se repetirá todas las veces. Ese es el poder del método Monte Carlo.

Monte Carlo utilizando una ecuación de respuesta DOE

¿Qué pasa si usted no sabe qué ecuación utilizar o si intenta simular el resultado de un proceso único? 

Un fabricante de equipos electrónicos le ha asignado la tarea de mejorar su proceso de electrolimpieza, que prepara las piezas metálicas para la galvanoplastia. Mediante el proceso de galvanoplastia, los fabricantes recubren la materia prima con una capa de un metal diferente para alcanzar las características deseadas. El recubrimiento no se adhiere a una superficie sucia, por lo que la empresa posee un sistema de electrolimpieza de flujo continuo que se conecta a una máquina automática de galvanoplastia. Un sistema transportador sumerge cada pieza en un baño que envía voltaje a través de la pieza, limpiándola. Una limpieza inadecuada produce un alto valor cuadrático medio de rugosidad, o RMS, y un mal acabado superficial. Las piezas que se limpian adecuadamente tienen una superficie lisa y un RMS bajo.

Para optimizar el proceso, usted puede ajustar dos entradas críticas: voltaje (Vcc) y densidad de la corriente (ASF). Para su método de electrolimpieza, los límites de ingeniería típicos de Vcc son de 3 a 12 voltios. Los límites de densidad de la corriente son de 10 a 150 amperios por pie cuadrado (ASF).

Paso 1: Identificar la ecuación de transferencia

No existe una fórmula clásica que se pueda utilizar para este proceso, pero sí se puede configurar un DOE de superficie de respuesta en Minitab para determinar la ecuación de transferencia. Los DOE de superficie de respuesta se utilizan frecuentemente para optimizar la respuesta al hallar la mejor configuración para algunos factores controlables de tipo “pocos vitales”.

En este caso, la respuesta será la calidad de la superficie de las piezas después de la limpieza.

Para crear un experimento de superficie de respuesta en Minitab, elija Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Crear diseño de superficie de respuesta.  Dado que tenemos dos factores, voltaje (Vcc) y densidad de la corriente (ASF), seleccionaremos un diseño compuesto central de dos factores, que tiene 13 corridas. 

Monte Carlo - Crear diseño de superficie de respuesta 
 
Después que Minitab crea su experimento diseñado, usted debe realizar sus 13 corridas experimentales, recolectar los datos y registrar la rugosidad de la superficie de las 13 piezas acabadas. Con Minitab es fácil analizar los resultados del DOE, reducir el modelo y verificar los supuestos mediante el uso de gráficas de residuos.  Utilizando el modelo final y el optimizador de respuesta de Minitab, usted puede hallar la configuración óptima para las variables.  En este caso, debe establecer los voltios en 7.74 y el ASF en 77.8 para obtener un valor de rugosidad de 39.4. 

El DOE de superficie de respuesta produce la siguiente ecuación de transferencia para la simulación Monte Carlo:

Rugosidad = 957.8 – 189.4(Vcc) – 4.81(ASF) + 12.26(Vcc2) + 0.0309(ASF2)

Paso 2: Definir los parámetros de entrada

Ahora puede establecer las definiciones paramétricas para las entradas de su simulación Monte Carlo. (Las desviaciones estándar se deben conocer o se deben estimar basándose en el conocimiento actual del proceso). Los voltios están distribuidos normalmente con una media de 7.74 Vcc y una desviación estándar de 0.14 Vcc. Los amperios por pie cuadrado (ASF) se distribuyen normalmente con una media de 77.8 ASF y una desviación estándar de 3 ASF.

Paso 3: Crear datos aleatorios

Con los parámetros definidos, es fácil crear 100,000 filas de datos simulados para nuestras dos entradas utilizando el cuadro de diálogo Calc > Datos aleatorios > Normal de Minitab.

Paso 4: Simular y analizar la salida del proceso

Ahora podemos usar la Calculadora para ingresar nuestra fórmula, seguido de Estadísticas > Estadísticas básicas > Resumen gráfico.

Monte Carlo - Resumen para RMS

El resumen muestra que a pesar de que las entradas subyacentes estaban distribuidas normalmente, la distribución de la rugosidad RMS no es normal. El resumen también muestra que la variación transmitida de todos los componentes produce una desviación estándar de 0.521 y el conocimiento del proceso indica que este es un resultado adecuado. Basándonos en un DOE de tan sólo 13 corridas, podemos determinar la realidad de lo que se observará en el proceso.

¿En qué casos se puede aplicar la simulación Monte Carlo?

El método Monte Carlo ha recorrido un largo camino desde que revolucionó la investigación nuclear en la década de 1940. Hoy en día, el uso de datos simulados para producir una imagen paramétrica fiable del resultado de un proceso constituye una herramienta vital en industrias tales como finanzas, manufactura, extracción de petróleo y gas, productos farmacéuticos y muchas otras.

En casi cualquier situación para la que se pueda desarrollar un modelo matemático, la capacidad de Minitab para crear datos aleatorios simulados le ofrece fácil acceso al poder la simulación Monte Carlo.

Este artículo está basado en una presentación realizada por Paul Sheehy, especialista en capacitación técnica de Minitab, durante la Conferencia de la ASQ sobre Six Sigma Esbelto celebrada en febrero de 2012.

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