ARIMA: Cómo evitar la “mentalidad de rebaño” cuando se analizan los datos de las series de tiempo

Para extraer la información correcta de los datos de las series de tiempo se requiere habilidad y experiencia y tal vez también inspiración e intuición. En este artículo se explica cómo analizar los datos de las series de tiempo utilizando algunas herramientas más sofisticadas que no suelen ser abarcadas por los programas básicos de capacitación en estadística.  

Por Michel Thirion y Robert Collis, especialista en capacitación técnica de Minitab

 

Thirion y CollisThirion y Collis

Michel Thirion, Master Black Belt en Honeywell, y Robert Collis, especialista en capacitación técnica de Minitab

Los datos de series de tiempo son abundantes tanto en la manufactura como en el sector de los servicios. Los siguientes son algunos ejemplos:

  • El número de días que un cliente espera hasta recibir una respuesta a una solicitud de hipoteca
  • El tiempo que tarda comunicarse con el personal cuando se llama por teléfono a un banco
  • El tiempo que pasan los operadores de un centro de soporte técnico atendiendo a los clientes por teléfono
  • Las ventas de motores de helicóptero en el tiempo
  • El tiempo que tardan los empleados de una empresa farmacéutica en llenar documentos importantes

Analizar tales datos parece sencillo a primera vista, ¿pero realmente lo es?

Hacer el análisis de datos como si se estuviera siguiendo una receta nunca es suficiente. Para extraer la información correcta de los datos ciertamente se requiere habilidad y experiencia, pero para monitorear correctamente cualquier proceso de manera que puedan tomarse las medidas correctivas adecuadas también puede requerirse inspiración e intuición.

Gracias a mis experiencias en la capacitación de los Master Black Belts de Honeywell y en consultoría de estadística que ofrece Minitab, he podido analizar datos de series de tiempo usando algunas herramientas más sofisticadas y menos conocidas que suelen dejarse a un lado en muchos programas básicos de capacitación en estadística. El objetivo de este artículo es compartir con ustedes los procedimientos para aplicar algunas de estas técnicas en Minitab Statistical Software.

Primeros pasos en el análisis de los datos de series de tiempo

Al analizar los datos de series de tiempo, el primer paso suele consistir en crear algunas gráficas de control estadístico. Por ejemplo, podríamos crear una gráfica de corridas seleccionando Estadísticas > Herramientas de calidad > Gráfica de corridas y llenando el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

ARIMA - Imagen 01

Después de hacer clic en Aceptar, Minitab genera la siguiente gráfica:

Artículo sobre ARIMA – imagen 2

La visible tendencia ascendente es confirmada por el valor p muy bajo para Tendencias. También hay más conglomerados cuando la línea roja cruza la mediana que se esperaría si los datos fueran aleatorios.

Algunos usuarios desprevenidos podrían intentar crear una gráfica I-MR eligiendo Estadísticas > Gráficas de control > Gráficas de variables para valores individuales > I-MR y llenando el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 3

Al hacer clic en Aceptar , se obtiene la siguiente salida:

Artículo sobre ARIMA – imagen 4

En principio, parece que tenemos puntos fuera de control al comienzo y al final de la gráfica I-MR, con relativa estabilidad en el medio. Basándonos en esto, podríamos inferir que este proceso consta de tres partes o fases: valores con tendencia a la baja al comienzo, un período intermedio estable y valores con tendencia al alza hacia el final.

Sin embargo, para justificar el uso de las gráficas de control, deben cumplirse supuestos estándar como éste: específicamente, los datos deben estar distribuidos de manera normal e independiente, con μ media y desviación estándar σ1.

Los límites de control de la gráfica I se basan en la media del rango móvil: la diferencia absoluta entre cada par consecutivo de puntos. Si no hay independencia entre los puntos, tenemos una condición que se llama autocorrelación, en la que hay poca diferencia en cada par consecutivo de puntos. Eso significa que el rango móvil será artificialmente bajo, y esto se reflejará en un aumento de la tasa de falsas alarmas en la gráfica I.

¿Cómo se puede saber si los datos están autocorrelacionados?

Obviamente, utilizar una gráfica I-MR con datos autocorrelacionados puede causar problemas, así que sería útil saber si los datos están autocorrelacionados. Afortunadamente, el Asistente de Minitab Statistical Software hará esta verificación por nosotros sin siquiera tener que utilizar opciones sofisticadas sumergidas en las profundidades del software.

Si elegimos Asistente > Gráficas de control > Gráfica I-MR y luego llenamos el cuadro de diálogo de la siguiente manera, el Asistente nos hará una advertencia:

Artículo sobre ARIMA – imagen 5

El asistente también nos informa sobre la autocorrelación y sus consecuencias:

Artículo sobre ARIMA – imagen 6

Deberíamos haber usado al Asistente para crear la gráfica I-MR en primer lugar. Sin ella, muchos usuarios podrían sacar conclusiones falsas.

Manejo del autocorrelación en Minitab

¿La autocorrelación significa que no podemos usar estos datos?  No, sólo significa que tenemos que seguir adelante con algo más sofisticado.

Para entender las correlaciones entre los datos en diferentes puntos temporales con un desfase de uno o más períodos, podemos realizar un análisis de autocorrelación y de autocorrelación parcial. Esto nos permite saber si existen correlaciones entre los datos en el tiempo t y el tiempo t-1, t-2 hasta t-k.

Eligiremos Estadísticas > Series de tiempo > Autocorrelación y llene el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 7

Después de hacer clic en Aceptar, Minitab proporciona la siguiente salida:

Artículo sobre ARIMA – imagen 8

La función de autocorrelación parcial puede obtenerse de un modo similar seleccionando:

Estadísticas > Series de tiempo > Función de autocorrelación parcial  

Minitab proporciona el siguiente resultado:

Artículo sobre ARIMA – imagen 9

Las líneas verticales que se extienden más allá de la línea de puntos horizontal roja indican una fuerte correlación entre los puntos con un desfase de uno y dos períodos en el tiempo. Ahora podemos eliminar la autocorrelación graficando cada tercer punto de los datos en una gráfica I-MR. Elegir Estadísticas > Gráficas de control > Gráficas de variables para valores individuales > I-MR y llene el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 10

Para seleccionar sólo cada tercer valor, haga clic en Opciones de datos... y llene el cuadro de diálogo secundario antes de hacer clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo:

Artículo sobre ARIMA – imagen 11

Minitab crea la siguiente gráfica:

Artículo sobre ARIMA – imagen 12

El proceso parece estar bajo control y se han cumplido los supuestos subyacentes; sin embargo, hemos dejado por fuera dos terceras partes de los datos. Dado el pequeño número de valores en la columna de series de tiempo, también podríamos haber agrupado los datos utilizando subgrupos relativamente grandes para terminar con relativamente pocos puntos en la gráfica Xbarra. Ninguna de estas opciones es ideal.

La mejor solución es usar el modelado de series de tiempo y en particular el enfoque ARIMA (promedio móvil integrado autorregresivo). Este enfoque no es muy conocido en los círculos industriales y empresariales, pero puede aplicarse de una manera relativamente fácil si se entienden algunos pasos básicos. Sin embargo, puede requerirse cierta intuición para idear la mejor solución. ¡Es aquí donde la persona que realiza el análisis podría tener que aplicar un poco más de arte y un poco menos de ciencia!

Construcción de un modelo ARIMA

De un modo muy simple, el método ARIMA hace uso de los datos del pasado reciente o más distante para modelar los datos existentes, así como para hacer predicciones adecuadas del comportamiento futuro.  El objetivo es identificar un modelo subyacente que explique el cambio en el proceso. Cualquier punto que se desvíe de este comportamiento pronosticado podría considerarse una causa especial, puesto que no sigue los movimientos generales de los datos.

Para construir un modelo ARIMA, se debe lograr que los datos sean estacionarios: es decir, no debe haber ninguna tendencia en el proceso, ni hacia arriba ni hacia abajo. En otras palabras, debe lograrse cierta estabilidad en la media del proceso. Nuestros datos originales no eran estacionarios, ya que parecía haber una tendencia ascendente en el tiempo. Podemos hacer que esos datos sean estacionarios mediante el uso de la herramienta Diferencia

en Minitab (Estadísticas > Series de tiempo > Diferencia).

Llenamos el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 13

Cuando hacemos clic en Aceptar, Minitab genera una columna de las diferencias especificadas. Si los datos del tiempo t son Xt y los datos del período de tiempo antes de t se llaman Xt-1, la diferencia es Xt -Xt-1.

Ahora podemos graficar las diferencias eligiendo Gráfica > Gráfica de series de tiempo > Simple y llenando el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 14

Al hacer clic en Aceptar, se obtiene la siguiente gráfica:

Artículo sobre ARIMA – imagen 15

Los datos, a los que aplicamos una diferencia de orden 1, ahora parecen ser estacionarios, sin una clara tendencia hacia arriba o hacia abajo. Eso significa que podemos utilizar estos datos para determinar un modelo ARIMA.

En primer lugar, realizamos el análisis de autocorrelación y autocorrelación parcial de los datos diferenciados. Minitab proporciona los siguientes resultados:

Artículo sobre ARIMA – imagen 16.2
Artículo sobre ARIMA – imagen 17

Ahora necesitamos saber qué significan los patrones en las funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial. Un texto que me ha parecido útil es Forecasting, Methods and Applications por Makridakis, Wheelwright y Hyndman (John Wiley and Sons, Third Edition, 1998).

Tenemos una función de autocorrelación con un patrón sinusoidal (similar a una onda sinusoidal) y picos para los desfases del 1 al 3, lo que sugiere un modelo autorregresivo de orden 3, es decir, un AR(3). El comportamiento sinusoidal en la función de autocorrelación parcial y los picos hasta el desfase 3 sugieren un modelo de promedio móvil de orden 3, es decir, un MA(3).  El modelado de series de tiempo puede ser un proceso algo iterativo, o incluso impredecible, pero estas gráficas sugieren que el modelo ARIMA (3,1,3) es un buen lugar para comenzar.

Cada parte del modelo ARIMA cumple una función en las predicciones que hace el modelo. La parte autorregresiva del modelo predice el valor en el tiempo t teniendo en cuenta los valores previos de la serie en el tiempo t-1, t-2, etc. El promedio móvil utiliza valores residuales anteriores: las diferencias entre el valor real y el valor pronosticado basadas en el modelo en el tiempo t.

Podemos evaluar qué tan bien se ajusta a nuestros datos el modelo ARIMA (3,1,3) eligiendo Estadísticas > Series de tiempo > ARIMA y completando el cuadro de diálogo como se muestra abajo:

ARIMA - Imagen 18

Minitab produce esta salida:

Artículo sobre ARIMA – imagen 19

Los valores p sólo son significativos en el nivel de 10% para el coeficiente de primer orden de la parte autorregresiva del modelo y el coeficiente de tercer orden de la parte de promedio móvil del modelo. Además, los estadísticos de chi-cuadrado de Ljung-Box, que evalúan la aleatoriedad general del modelo, sugieren que podría haber un efecto estacional al menos de orden 1.

Por lo tanto, refinaremos nuestro intento de entender estos datos construyendo un modelo ARIMA(1,1,3)(1,0,0)12 .  Esta notación no es tan complicada como pudiera parecer. El primer conjunto de paréntesis nos dice que los desfases de las partes autorregresiva (AR) e integrada (I) del modelo serán 1, mientras que el promedio móvil (MA) se basará en el desfase 3. El segundo conjunto de paréntesis indica el efecto estacional, que suponemos que sigue un período de 12, es decir, un ciclo anual, alrededor de AR(1).

Pongámoslo a prueba. Un práctico método abreviado de Minitab,CTRL-E, vuelve a abrir el último cuadro de diálogo que utilizamos. Ahora podemos construir el modelo ARIMA refinado llenando el cuadro de diálogo como se muestra abajo:

Artículo sobre ARIMA – imagen 20a

Pero antes de presionar Aceptar, haga clic en Almacenamiento y seleccione Residuos y ajustes:

Artículo sobre ARIMA – imagen 20b

Después de presionar Aceptar en ambos cuadros de diálogo, Minitab muestra la siguiente salida:

Artículo sobre ARIMA – imagen 20c

El coeficiente autorregresivo de primer orden, el coeficiente estacional y el coeficiente de promedio móvil de tercer orden son significativos en el nivel de significancia de 10%, lo que indica que este modelo podría ser eficiente. La suma de los cuadrados que mide la suma de las diferencias al cuadrado entre cada punto de datos original y su valor estimado utilizando este modelo ARIMA es bastante pequeña. Es más, los estadísticos de chi-cuadrado de Ljung-Box indican que no hay correlaciones entre los puntos con una diferencia de 12 ó 24 desfases, los cuales han sido excluidos incluso por el coeficiente estacional.

Ahora nos gustaría evaluar qué tan bien se ajusta el modelo a los valores originales y ver lo que predice el modelo para este proceso en el futuro. Para ver qué tan bien se ajusta el modelo, seleccionaremos Gráfica > Series de tiempo > Múltiple y llenaremos el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 20

Minitab produce esta gráfica:

Artículo sobre ARIMA – imagen 21

Podemos ver que los valores ajustados (en rojo) siguen de cerca los valores de los datos originales en el tiempo.

Para ver los valores pronosticados futuros, elija Estadísticas > Series de tiempo > ARIMA, y luego seleccione Gráficas y llene el cuadro de diálogo como se muestra a continuación antes de hacer clic en Aceptar:

Artículo sobre ARIMA – imagen 22

Seleccione Pronósticos y luego llene el cuadro de diálogo de la siguiente manera antes de hacer clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo:

Artículo sobre ARIMA – imagen 23

Minitab produce esta gráfica de predicciones:

Artículo sobre ARIMA – imágenes 24

El comportamiento pronosticado de este proceso en el futuro tiene sentido de acuerdo con los datos del pasado. Con más datos, el intervalo de confianza de 95% podría reducirse aún más.

En el caso del modelo ARIMA, al igual que en los modelos de regresión o ANOVA, es fundamental examinar el comportamiento de los valores residuales para ver si son normales, aleatorios y si tienen variación constante.

En este caso, los valores residuales son las diferencias entre el valor observado en el tiempo t y el valor pronosticado basado en el modelo ARIMA. Estas diferencias pueden ser negativas o positivas, y ocasionalmente iguales a 0 cuando el ajuste es perfecto.

Artículo sobre ARIMA – imagen 25

Los supuestos se cumplen bastante bien, excepto por el hecho de que existe cierta variación no constante en la gráfica de Residuos vs. ajustes. Esto se deriva del hecho de que la calidad del ajuste del modelo es mejor para los primeros puntos de los datos que para los puntos más recientes.

Estos valores residuales no tienen autocorrelación, así que tendría sentido trazarlos en una gráfica I-MR utilizando el Asistente para determinar qué puntos se desvían del comportamiento esperado, es decir, qué puntos no siguen el modelo.

Seleccionaremos Asistente > Gráficas de control > Gráfica I-MR y llenaremos el cuadro de diálogo de la siguiente manera:

Artículo sobre ARIMA – imagen 26

Minitab produce la siguiente salida:

Artículo sobre ARIMA – imagen 27

Un punto de los datos, el 26, estaba fuera de los límites del control. Esto podría explicarse por un cambio inesperado y considerable entre los puntos 25 y 26.  El modelo ARIMA sugiere que podemos esperar cierta evolución en este proceso, pero nuestra comprensión actual de la serie de datos indica que sólo hay una causa especial para este cambio en particular.

Imagine que está tratando de entender los movimientos en el valor de ciertas acciones y que la tendencia reciente ha sido hacia la baja, dado que la empresa confronta una fuerte competencia. Usted podría modelar este fenómeno utilizando ARIMA. Si el CEO de la empresa, que no es visto con buenos ojos en Wall Street, anuncia que se separará de su cargo en un año, esto podría provocar que las acciones subieran repentinamente y no tuvieran el resultado esperado para ese día, de acuerdo con el modelo subyacente actual. Esto se vería en los residuos y sería una causa especial sin lugar a dudas.

¿Qué representa en realidad el modelo ARIMA?

La siguiente explicación resultará muy interesante para los usuarios más avanzados, ya que algunas de las derivaciones son bastante complejas.

El valor pronosticado de la respuesta en el tiempo t depende de los valores anteriores de la serie, pero también de los valores residuales del pasado.

En primer lugar, sería útil entender la notación básica, particularmente la notación “backshift” que se utiliza comúnmente en el análisis de series de tiempo.

  • Yt es el valor de los datos en el tiempo t
  • Ythat es el valor pronosticado en el tiempo t, basado en el modelo
  • et es el valor residual en el tiempo t, que es la diferencia Yt -Ythat
  • El operador backshift, B, se utiliza comúnmente.
  • BYt=Yt-1
  • B(BYt)=B2Yt=Yt-2

¿Cómo se concibe el modelo ARIMA(1,1,3)(1,0,0)12?

El modelo tiene dos lados: el autorregresivo (AR) y el promedio móvil (MA). Además, se debe incluir la diferenciación de orden uno (Yt-Yt-1).

Componentes autorregresivos

Comencemos con el lado autorregresivo de la ecuación, que depende de los valores anteriores de la serie. Hay tres partes distintas en esta parte del modelo:

El término autorregresivo de orden 1: (1-φ1B)Yt=Yt-φ1Yt-1

El AR(1) estacional: (1-θB12)Yt=Yt-θYt-12

La diferencia no estacional: (1-B)Yt=Yt-Yt-1

El término autorregresivo de orden 1, el AR(1) estacional y la diferencia no estacional se multiplican entre sí y luego se resuelven

(1-φ1B) (1-θB12) (1-B)Yt = (1-φ1B-θB12+φ1B-θB13)(1-B)Yt =
(1-B)Yt - φ1B(1-B)Yt -θB12(1-B)Yt +φ1θB13(1-B)Yt=Yt-Yt-1-φ1(Yt-1-Yt-2)-θ(Yt-12-Yt-13)+φ1θYt-13-Yt-14)

Cabe destacar que el modelo contiene tanto valores de datos recientes Yt-1, Yt-2 como valores mucho más antiguos tales como Yt-13 y Yt-14.

Componentes del promedio móvil

El lado del promedio móvil de la ecuación es mucho más fácil de construir. El lado del promedio móvil de la ecuación se basa en los residuos de los períodos anteriores con respecto al tiempo t, el momento en el que deseamos hacer una predicción utilizando el modelo. Este “promedio móvil” no debe confundirse con su definición clásica. Tradicionalmente un promedio móvil de orden 3 consistiría en tomar el promedio de cada conjunto de 3 puntos de datos consecutivos y rastrear estas medias en una gráfica, pero esto no es en absoluto lo que estamos haciendo en este caso.

La parte del promedio móvil del modelo es:

(1-ψ1B-ψ2B2-ψ3B3)et =
et-ψ1et-1-ψ22et-2-ψ3et-3

El lado autorregresivo de la ecuación y el lado del promedio móvil se igual entre sí, agregando el término constante en el lado derecho y esto es lo que se obtiene:

Yt-Yt-1-φ1(Yt-1-Yt-2)-φ1θ(Yt-12-Yt-13)+φ1θ(Yt-13-Yt-14)=β+ etψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3

Al colocar Yt en el lado izquierdo de la ecuación y todos los otros términos en el lado derecho, este es el resultado, expresado como el valor pronosticado en t:

Yt= β+Yt-1 +φ1(Yt-1-Yt-2) +θ(Yt-12-Yt-13) +φ1θ(Yt-13-Yt-14)-ψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3+ et

Podemos derivar el valor pronosticado en el tiempo t de la misma manera que en un modelo de regresión clásico; es decir,
si Yt= modelo + et, entonces Yhatt = modelo
Por lo tanto, Yhatt = β+Yt-1 +φ1(Yt-1-Yt-2) +θ(Yt-12-Yt-13)-φ1θ(Yt-13-Yt-14)-ψ1et-1-ψ2et-2-ψ3et-3

Yhatt  = 0.00066 + Yt-1 + 0.4139(Yt-1-Yt-2) + 0.9817(Yt-12-Yt-13) – 0.4139*0.9817(Yt-13-Yt-14) – (-0.1549)*et-1 - 0.1507*et-2 - 0.8431*et-3

El valor pronosticado en el décimo sexto período de tiempo se expresa de la siguiente manera:

Yhat16 = 0.00066 + Y15 + 0.4139(Y15 – Y14) + 0.9817(Y4 – Y3) – 0.4139*0.9817(Y3 – Y2) – (-0.1549)*e15 - 0.1507*e14 - 0.8431*e13

Demostremos cómo se puede utilizar esta ecuación.

La tabla de abajo muestra los datos originales correspondientes a los períodos de t=-4 a t=+11, donde t=1 es el primer período del que tenemos datos. Los datos originales correspondientes a los períodos de t=1 a 11 se encuentran en las celdas de la B8 a la B17.

Artículo sobre ARIMA – imagen 39

El primer paso del proceso de análisis ocurre en segundo plano en Minitab, cuando se ajusta el modelo ARIMA para calcular Y0, Y-1,Y-2..etc., de cierta manera al crear valores de datos pronosticados anteriores a t=1.

Pareciera no ser fácil calcular Y0 debido a que se encuentra antes del período del estudio. Se realizan pronósticos retrospectivos que se pueden observar en la ventana Sesión:

Artículo sobre ARIMA – imagen 40

El pronóstico retrospectivo para tiempo 0 es 1.623. De modo que Y1-Y0=1.623 y por lo tanto Y0=59.7-1.6=58.1, que corresponde a la celda B6, tal como se requiere. Se puede aplicar el mismo proceso para Y-1,Y-2, etc., al subir en la columna B de la hoja de cálculo de abajo. Y0-Y-1= -2.121 + Y-1=Y0+2.121=58.1+2.1=60.2, que corresponde a la celda B5.

La ecuación final del décimo período es:

Yhatt = 0.00066 + Yt-1 + 0.4139(Yt-1 – Yt-2) + 0.9817(Yt-12 – Yt-13) – 0.4139*0.9817(Yt-13 – Yt-14) – (-0.1549)*et-1 - 0.1507*et-2 - 0.8431*et-3

Yhat10 = 0.00066 + Y9 + 0.4139(Y9 – Y8) + 0.9817(Y-2 – Y-3) – 0.4139*0.9817(Y-3 – Y-4) – (-0.1549)*e9 - 0.1507*e8 - 0.8431*e7

Y9 es la celda B15 en la tabla de abajo = 63.6
Y8 es la celda B14 = 61.9
Y-2 es la celda B4 = 60.444
Y-3 es la celda B3 = 60.535
Y-4 es la celda B2 = 58.809
e9 es la celda D15 = -0.000376466
e8 es la celda D14 = 0.012395082
e7 es la celda D13 = 0.039578177

Yhat10=0.00066+63.6+0.4139(63.6-61.9)+0.9817(60.44-60.535)-[(0.4139)(0.9817)(60.52-58.81)]-[(-0.1549)*(-0.000376466)]-[(0.15070)(0.012395082)]-[0.8431(0.039578177)]=63.44.

Es igual a E16.

Se puede aplicar lo mismo para hallar los valores pronosticados de cualquier período de tiempo basándose en este modelo.

Conclusiones

La mayoría de los profesionales analiza series de tiempo o datos de proceso de una manera relativamente simplista y se basa principalmente en gráficas de corridas o simples gráficas de control de Shewhart, tales como las gráficas I-MR, Xbarra-R o Xbarra-S.

Sin embargo, cualquier autocorrelación en los datos puede intensificar la tasa de falsas alarmas. Puede ser apropiado intentar modelar los datos utilizando una sofisticada técnica de modelado de series de tiempo, como ARIMA. Si se utiliza de manera correcta, ARIMA puede proporcionar un excelente ajuste de los datos existentes y, además, ofrecer buenas predicciones de comportamiento futuro, lo que es importante en un mundo incierto. Sin embargo, las técnicas de ARIMA son considerablemente complejas y no son tan conocidas ni compresibles como la mayoría de los análisis básicos. Sine embargo, una vez comprendidos los principios básicos, se pueden construir exitosos modelos de series de tiempo con relativa facilidad utilizando Minitab. Además, una vez construido el modelo de ARIMA, es apropiado evaluar los valores residuales para determinar si existen causas especiales.

 

1 Montgomery, Douglas (2005). Introduction to Statistical Quality Control. John Wiley and Sons, 5th Edition. PÁGINA 438

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