Durchführen einer Monte-Carlo-Simulation mit der Minitab Statistical Software

Das Ausführen von Monte-Carlo-Simulationen mit der Minitab Statistical Software ist ausgesprochen einfach. In diesem Artikel wird erläutert, wie Minitab für Monte-Carlo-Simulationen mit einer bekannten technischen Formel und einer DOE-Gleichung eingesetzt wird.

von Paul Sheehy und Eston Martz

Bei der Monte-Carlo-Simulation werden wiederholt Zufallsstichproben entnommen, um Daten für ein bestimmtes mathematisches Modell zu simulieren und das Ergebnis auszuwerten. Sie wurde erstmals in den 1940er Jahren angewendet, als Wissenschaftler bei der Arbeit an der Atombombe damit die Wahrscheinlichkeit berechneten, dass die Spaltung eines Uranatoms eine Spaltung in einem anderen Atom verursacht. Da Uran nur schwer erhältlich war, gab es keine Möglichkeit, hierzu viele Versuche durchzuführen. Die Wissenschaftler stellten fest, dass sie durch das Erstellen einer ausreichenden Menge simulierter Daten zuverlässige Wahrscheinlichkeiten berechnen und dadurch die Menge des für die Versuche benötigten Urans reduzieren konnten.

Heute werden simulierte Daten routinemäßig in Situationen verwendet, in denen die Ressourcen beschränkt sind oder das Erfassen echter Daten zu teuer oder unpraktisch ist. Durch die Funktion zum Erstellen von Zufallszahlen in Minitab haben Sie mit der Monte-Carlo-Simulation die folgenden Möglichkeiten:

  • Simulieren der Spannweite möglicher Ergebnisse, um die Entscheidungsfindung zu unterstützen
  • Prognostizieren von Finanzergebnissen oder Schätzen von Zeitplänen für Projekte
  • Untersuchen der Streuung in einem Prozess oder System
  • Ermitteln von Problemen in einem Prozess oder System
  • Risikomanagement durch Aufzeigen von Kosten-Nutzen-Zusammenhängen

Schritte beim Monte-Carlo-Ansatz

Abhängig von der Anzahl der involvierten Faktoren können Simulationen sehr komplex sein. Grundsätzlich umfassen jedoch alle Monte-Carlo-Simulationen vier einfache Schritte:

1. Ermitteln der Übergangsgleichung

Zum Durchführen einer Monte-Carlo-Simulation wird ein quantitatives Modell des Geschäftsvorgangs, Plans oder Prozesses benötigt, der untersucht werden soll. Die mathematische Darstellung des Prozesses wird als Übergangsgleichung bezeichnet. Dabei kann es sich um eine bekannte technische bzw. betriebswirtschaftliche Formel oder um eine Ableitung aus einem Modell handeln, das auf der Grundlage eines Versuchsplans (DOE) oder einer Regressionsanalyse erstellt wurde.

2. Definieren der Eingabeparameter

Bestimmen Sie für jeden Faktor in der Übergangsgleichung die Datenverteilung. Einige Eingaben weisen möglicherweise eine Normalverteilung auf, andere eine Dreiecksverteilung oder Gleichverteilung. Dann müssen für jede Eingabe die Verteilungsparameter ermittelt werden. So müssen Sie z. B. für Eingaben mit einer Normalverteilung den Mittelwert und die Standardabweichung angeben.

3. Erstellen von Zufallszahlen

Zum Durchführen einer aussagekräftigen Simulation muss ein großer Satz von Zufallszahlen für jede Eingabe erstellt werden, ungefähr in der Größenordnung von 100.000 Werten. Diese zufälligen Datenpunkte simulieren die Werte, die über einen langen Zeitraum bei den einzelnen Eingaben auftreten würden. Mit Minitab können bequem Zufallszahlen für fast jede mögliche Verteilung erstellt werden.

4. Simulation und Analyse der Prozessausgabe

Wenn die simulierten Daten vorliegen, können Sie mit Hilfe der Übergangsgleichung simulierte Ergebnisse berechnen. Wenn Sie das Modell auf eine ausreichend große Menge simulierter Eingabedaten anwenden, erhalten Sie einen zuverlässigen Eindruck davon, wie die Ausgaben des Prozesses über einen längeren Zeitraum mit der gegebenen Streuung bei den Eingaben ausfallen werden.

Dies sind die Schritte, die bei jeder Monte-Carlo-Simulation durchgeführt werden müssen. Im Folgenden wird die Anwendung in Minitab erläutert.

Monte-Carlo-Methode mit einer bekannten technischen Formel

In einem Produktionsunternehmen soll die Konstruktion eines Produktvorschlags ausgewertet werden: eine kleine Kolbenpumpe, die 12 ml Flüssigkeit pro Minute fördern soll. Sie möchten die wahrscheinliche Leistung von Tausenden von Pumpen bei einer natürlichen Streuung des Kolbendurchmessers (D), der Hublänge (L) und der Hubzahl pro Minute (RPM) schätzen. Im Idealfall weist der Durchsatz bei Tausenden von Pumpen eine Standardabweichung von höchstens 0,2 ml auf.

Schritt 1: Ermitteln der Übergangsgleichung

Der erste Schritt bei einer Monte-Carlo-Simulation ist das Bestimmen der Übergangsgleichung. In diesem Fall können Sie einfach eine etablierte technische Formel zum Messen des Pumpendurchsatzes verwenden: 

Durchsatz (in ml) =  π(D/2)2 ∗ L ∗ RPM

Schritt 2: Definieren der Eingabeparameter

Nun müssen Sie die Verteilung und Parameter für jede in der Übergangsgleichung verwendete Eingabe definieren. Der Kolbendurchmesser und die Hublänge der Pumpe sind bekannt. Sie müssen jedoch die Hubzahl pro Minute (RPM) berechnen, die zum Erreichen des gewünschten Durchsatzes von 12 ml/Minute erforderlich ist. Das pro Hub gepumpte Volumen wird mit der folgenden Gleichung angegeben: 

π(D/2)2 * L

Bei D = 0,8 und L = 2,5 werden mit jedem Hub 1,256 ml verdrängt. Wenn also ein Durchfluss von 12 ml/Minute erreicht werden soll, muss RPM 9,549 betragen.

Auf der Grundlage der Leistung anderer im Unternehmen hergestellter Pumpen können Sie beim Kolbendurchmesser von einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0,8 cm und einer Standardabweichung von 0,003 cm ausgehen. Die Hublänge weist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 2,5 cm und einer Standardabweichung von 0,15 cm auf. Die Hubzahl pro Minute folgt einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 9,549 RPM und einer Standardabweichung von 0,17 RPM.

Schritt 3: Erstellen von Zufallszahlen

Nun können Sie die Simulation in Minitab einrichten. Mit Minitab können Sie unmittelbar 100.000 Zeilen mit simulierten Daten erstellen. Beginnen Sie mit den simulierten Daten für den Kolbendurchmesser und wählen Sie Berechnen > Zufallszahlen > Normal aus. Geben Sie im Dialogfeld im Feld „Anzahl der zu generierenden Datenzeilen“ den Wert 100.000 sowie als Spalte, in der die Daten gespeichert werden sollen, „D“ ein. Geben Sie in den entsprechenden Feldern den Mittelwert und die Standardabweichung für den Kolbendurchmesser ein. Klicken Sie auf „OK“, um das Arbeitsblatt mit 100.000 Datenpunkten auszufüllen, die als Zufallsstichprobe aus der angegebenen Normalverteilung gezogen werden.

Erstellen von Zufallszahlen für die Monte-Carlo-Methode 
 
Wiederholen Sie diese Schritte einfach für Hublänge (L) und die Hubzahl pro Minute (RPM).

Schritt 4: Simulation und Analyse der Prozessausgabe

Erstellen Sie nun im Arbeitsblatt eine vierte Spalte mit der Bezeichnung „Flow“, in der die Ergebnisse der Berechnungen für die Prozessausgabe gespeichert werden. Wenn die zufällig generierten Eingabedaten vorliegen, können Sie den Rechner von Minitab so einrichten, dass die Ausgabe berechnet und in der Spalte „Flow“ gespeichert wird. Klicken Sie hierzu auf Berechnen > Rechner, und geben Sie die Gleichung für den Durchsatz wie folgt ein:

Eingeben der Übergangsgleichung für die Monte-Carlo-Methode

Minitab berechnet schnell die Ausgaben für jede Zeile mit simulierten Daten.

Nun können Sie die Ergebnisse betrachten. Wählen Sie Statistik > Statistische Standardverfahren > Grafische Zusammenfassung und dann die Spalte „Flow“ aus. Minitab generiert eine grafische Zusammenfassung mit vier Diagrammen: ein Histogramm der Daten mit einer überlagerten Normalverteilungskurve, ein Boxplot und Konfidenzintervalle für den Mittelwert und den Median. In der grafischen Zusammenfassung werden auch die Ergebnisse eines Anderson-Darling-Tests auf Normalverteilung sowie deskriptive Statistiken und Konfidenzintervalle für den Mittelwert, den Median und die Standardabweichung angezeigt.

Erstellen der grafischen Zusammenfassung für die Monte-Carlo-Methode 
 
Die grafische Zusammenfassung der Monte-Carlo-Simulation wird der folgenden Abbildung entsprechen: 

Monte-Carlo-Methode, Zusammenfassung für 'Flow' 
 
Bei den für diesen Artikel erstellten Zufallszahlen beträgt die mittlere Durchsatzrate bei 100.000 Stichproben 12,004. Im Durchschnitt ist der Sollwert erreicht, der kleinste Wert betrug jedoch 8,882 und der größte 15,594. Das ist eine verhältnismäßig große Spannweite. Die zusammengesetzte Streuung (aller Komponenten) führt zu einer Standardabweichung von 0,757 ml, was deutlich über dem Sollwert von 0,2 ml liegt. Außerdem ist festzustellen, dass der Sollwert von 0,2 ml außerhalb des Konfidenzintervalls für die Standardabweichung liegt.

Diese Pumpenkonstruktion weist offensichtlich eine zu große Streuung auf und muss weiter optimiert werden, bevor sie in die Produktion übernommen werden kann. Mit einer Monte-Carlo-Simulation in Minitab konnte dies ermittelt werden, ohne dass Kosten für das Herstellen und Testen Tausender Prototypen angefallen wären.

Fall Sie Zweifel an der Gültigkeit dieser Ergebnisse haben, probieren Sie es selbst aus. Unterschiedliche Sätze von simulierten Zufallszahlen führen zu geringfügigen Abweichungen, doch das Endergebnis – eine nicht akzeptable Streuung bei der Durchsatzrate – wird jedes Mal gleich sein. Das ist die Leistung der Monte-Carlo-Methode.

Monte-Carlo-Methode mit einer DOE-Gleichung für die Zielgröße

Was geschieht, wenn Sie nicht wissen, welche Gleichung Sie verwenden sollen oder das Ergebnis eines einzigartigen Prozesses simulieren möchten? 

Ein Elektronikhersteller hat Sie damit beauftragt, das Verfahren für die elektrolytische Reinigung zu optimieren, mit dem Metallteile für die Galvanisierung vorbereitet werden. Bei der Galvanisierung können Hersteller Rohmaterialien mit einer Schicht eines anderen Metalls beschichten, um bestimmte Eigenschaften zu erzielen. Die Beschichtung haftet nicht auf einer verschmutzten Oberfläche. In dem Unternehmen wird daher ein Durchlaufsystem für die elektrolytische Reinigung eingesetzt, das mit einer automatischen Galvanisierungsmaschine verbunden ist. Jedes Teil wird auf einem Förderband in ein Bad getaucht, wobei Spannung an das Teil angelegt und es so gereinigt wird. Eine unzureichende Reinigung führt zu einem hohen Effektivwert (Root Mean Square, RMS) für die durchschnittliche Rauheit und damit zu einer schlechten Oberflächenbeschaffenheit. Korrekt gereinigte Teile weisen eine glatte Oberfläche und einen geringen RMS auf.

Zum Optimieren des Prozesses können Sie zwei kritische Eingaben anpassen: Spannung (Vdc) und Stromdichte (ASF). Bei diesem Verfahren für die elektrolytische Reinigung liegen die normalerweise geltenden technischen Grenzwerte für Vdc zwischen 3 und 12 Volt. Die Grenzen für die Stromdichte liegen bei 10 und 150 Ampere pro Quadratfuß (ASF).

Schritt 1: Ermitteln der Übergangsgleichung

Sie können keine bewährte Lehrbuchformel für diesen Prozess verwenden. Sie können jedoch einen Wirkungsflächenversuchsplan in Minitab einrichten, um die Übergangsgleichung zu ermitteln. Wirkungsflächenversuchspläne werden häufig zum Optimieren der Zielgröße eingesetzt, indem die besten Einstellungen für die „entscheidenden wenigen“ kontrollierbaren Faktoren gesucht werden.

In diesem Fall ist die Zielgröße die Oberflächenqualität der Teile nach der Reinigung.

Wählen Sie zum Erstellen eines Wirkungsflächenversuchs in Minitab Statistik > Versuchsplanung (DOE) > Wirkungsfläche > Wirkungsflächenversuchsplan erstellen aus. Da zwei Faktoren vorliegen – Spannung (Vdc) und Stromdichte (ASF) – wird ein zentral zusammengesetzter Versuchsplan mit zwei Faktoren ausgewählt, der 13 Durchläufe umfasst. 

Erstellen eines Wirkungsflächenversuchsplans für die Monte-Carlo-Methode 
 
Wenn Minitab den Versuchsplan erstellt hat, müssen Sie die 13 Durchläufe ausführen, die Daten erfassen und die Oberflächenrauheit der 13 Endprodukte aufzeichnen. In Minitab können Sie die DOE-Ergebnisse bequem analysieren, das Modell reduzieren und Annahmen mit Residuendiagrammen überprüfen. Anhand des abschließenden Modells und der Zielgrößenoptimierung in Minitab können Sie die optimalen Einstellungen für die Variablen ermitteln. In diesem Fall legen Sie die Spannung auf 7,74 und ASF auf 77,8 fest, um einen Rauheitswert von 39,4 zu erzielen. 

Der Wirkungsflächenversuchsplan führt zu der folgenden Übergangsgleichung für die Monte-Carlo-Simulation:

Rauheit = 957,8 − 189,4(Vdc) − 4,81(ASF) + 12,26(Vdc2) + 0,0309(ASF2)

Schritt 2: Definieren der Eingabeparameter

Nun können Sie die Parameter für die Eingaben der Monte-Carlo-Simulation definieren. (Die Standardabweichungen müssen auf der Grundlage der vorhandenen Informationen zum Prozess bekannt sein oder geschätzt werden.) Die Spannungswerte weisen eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 7,74 Vdc und einer Standardabweichung von 0,14 Vdc auf. Die ASF-Werte (Ampere pro Quadratfuß) weisen eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 77,8 ASF und einer Standardabweichung von 3 ASF auf.

Schritt 3: Erstellen von Zufallszahlen

Nachdem die Parameter definiert wurden, können über das Dialogfeld Berechnen > Zufallszahlen > Normal in Minitab ganz einfach 100.000 Zeilen mit simulierten Daten für die beiden Eingaben erstellt werden.

Schritt 4: Simulation und Analyse der Prozessausgabe

Nun können Sie im Rechner die Formel eingeben und danach Statistik > Statistische Standardverfahren > Grafische Zusammenfassung auswählen.

Monte Carlo, Zusammenfassung für RMS

Die Zusammenfassung zeigt, dass die zugrunde liegenden Eingaben zwar normalverteilt waren, die RMS-Rauheit jedoch keine Normalverteilung aufweist. Die Zusammenfassung zeigt außerdem, dass die zusammengesetzte Streuung aller Komponenten zu einer Standardabweichung von 0,521 führt. Gemäß den bekannten Informationen zu dem Prozess handelt es sich dabei um ein gutes Ergebnis. Auf Grundlage eines Versuchsplans mit nur 13 Durchläufen kann also bestimmt werden, wie der Prozess in der Praxis aussehen wird.

In welchen Situationen kann die Monte-Carlo-Simulation eingesetzt werden?

Seit sie in den 1940er Jahren die Atomforschung revolutioniert hat, hat sich die Monte-Carlo-Methode erheblich weiterentwickelt. Heute ist das Entwickeln zuverlässiger parametrischer Darstellungen von Prozessergebnissen mit simulierten Daten ein wichtiges Werkzeug in den unterschiedlichsten Branchen, u. a. im Finanzbereich, in der verarbeitenden Industrie, der Öl- und Gasförderung und in der Pharmabranche.

In fast allen Situationen, für die ein mathematisches Modell entwickelt werden kann, können Sie dank der Möglichkeit, in Minitab simulierte Zufallsdaten zu erstellen, von der Leistungsfähigkeit der Monte-Carlo-Simulation profitieren.

Dieser Artikel basiert auf einer Präsentation von Paul Sheehy, Experte für technische Schulungen bei Minitab, bei der ASQ Lean Six Sigma Conference im Februar 2012.

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